级数中的一些反例

判断题：若级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n^3$ 收敛, 则$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n}$亦收敛.

反例：(老骥伏枥)令$a_{n}=\frac{1}{\log n}\sqrt[3]{\cos\frac{2n\pi}{3}}$,所以$a_{n}^3=\frac{1}{\log^3n}\cos\frac{2n\pi}{3}$.用狄利克雷判别法级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^3$收敛.(因为$\frac{1}{\log^3n}$递减趋于零, $\cos\frac{2n\pi}{3}$部分和有界).而

\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}&=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{1}{(3k+3)\log(3k+3)}-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(\frac{1}{(3k+1)\log(3k+1)}+\frac{1}{(3k+2)\log(3k+2)}\right)\right]\\&\sim\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k\log k}\end{align*}

发散。（柯西积分判别法）

如果是正项级数,根据Holder不等式能够说明$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}$收敛.