读书、科研与人生道路
《读书、科研与人生道路》
——在清华大学“星火论坛”的讲稿(2013/4/25)
我是清华校友，毕业于1970年。在毕业43年后，能有机会回到母校，在《星火论坛》和大致是二阶代沟的小学弟、小学妹们交换自己大半辈子读书、科研和做人做事的教训、心得和体会，心情既亢奋又忐忑。像一个酿酒老头，正在打开深埋多年的老坛子，不管里边酿就的是醇香的好酒，辛涩的苦酒，还是无心错成的陈醋，它终究历经了一路的沉浮酸甜，承载着厚重的岁月沉淀。它也许会对后来人有所借鉴吧？
题目是林XX同学出的，算是命题作文罢。
1. 读书
按中国的传统说法，在座的都是读书人。读书的重要性是无庸置疑的。咱们不谈功利性的看法，如“书中自有黄金屋，书中自有颜如玉”之类的。只从做学问的角度看，读书是接受前人文化传承最重要的途径。大家都在读书，但可能效果迥异。“如何读书”本身就是一门学问。
1.1 读什么书
1979年诺贝尔物理学奖获得者Glashow除物理学相关知识还修过音乐、东亚历史、法学、文学，甚至电焊。访问他的记者颇感疑惑，问他：“学这么多其他科目对物理学研究难道也有帮助吗？”他回答说：“我想是有的，往往许多物理学问题的解答并不在物理学范围之内，涉猎多方面的学问可以提供开阔的思路，如多看看小说，有空去逛逛公园，都会有好处。这可以提高想象力。它和理解力、记忆力同样重要。”海纳百川，方能成其大。许多中国学者一大弱点是知识面狭，一辈子只能在一个很小的方向上工作。
特别想强调的是：理工科学生要学好语文，文科生当然也要掌握必要的自然科学知识。有人说：“文理相通”，我觉得有一定道理。写文章的逻辑性与数学推理在原则上是一致的。丘成桐说过：“在学好数学的同时，更不能偏废语文。语文的训练是成为真正学者的第一步”。李政道有个题词：“科学人文一肩挑”。所以理工科学生除了专业知识外，还应当抽时间读一点文学的、哲学的、以及社会科学的书籍。
1.2 怎么读书
我想说的是专业书籍。个人认为大约可分为两类：一类是基础性教科书，这类书要精读。例如，我以前没学过图论，前一阵子在学图论，我选了一本入门书“R. J. Wilson，Introduction to Graph Theory”。我一般的做法是：选一本容易读而又比较经典的书，作为教科书仔细读，每个证明都仔细看，每道习题都做。华罗庚说过读书要从薄读到厚，再从厚读到薄。从薄到厚就是精读的过程，弄清每一个概念，包括做笔记，做习题，这是第一步。在掌握了这些内容后，要进行综合和提炼，找出真正需要掌握的精华。将来自己真正能记住的可能就那么一点，但却能运用自如，触类旁通。
我有个朋友，当年和我一起从清华考进科学院研究生院。几十年后相遇，他说了一句话：“我们学了大半辈子数学，其实最后能记住的就是一些框架。”我觉得他说到了点子上，正是这些不多的框架，指导我们进行正确的思维。这大概就是所谓“由博返约，以约驭博”的道理罢。一个人艺多不压身，多修一门课就会多一份本事。
另一类是参考书，包括（除少数需精读的例外）大量的参考文献。这些东西要粗读，掌握你认为有用或有启发的思想、方法。这是一种能力的训练，中学生，甚至大学生都很难做到这一点。但作为一个研究生，特别是在知识爆炸的今天，一定要学会在海量的书籍、文献中过滤出自己所需要的信息。
歌德有一句话：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看纸上的话，另一只眼睛看到纸的背面。”这是一种能力的培养，一定要从表面的，多半是赘长的陈述、推理、证明等中摆脱细节，发现它背后的想法、算法或原理。
对于怎样浏览科技参考文献，我还想说一点自己的体会。一是要重视摘要、前言、和结束语。对你不甚了解的新领域，前言几乎是最好的入门书。摘要和结束语常常会告诉你，你看的这篇论文是干什么的，有什么新结果。这些对理解论文很有帮助。二是怎么找参考文献，我的建议是：尽量找最新的，但不一定要细读它。如果你对该方向不太熟悉，可以从最新论文的参考文献中找到该方向的经典论文，不妨从这样的论文读起。
关于泛读，想举一个例子。我最近在做网络演化博弈方面的研究。演化博弈中有一个重要概念叫“演化稳定策略”(Evolutionary Stable Strategy)，是由John M. Smith提出的。他有一本经典的书“Evolution and the Theory of Games”，主要讨论ESS。我只看了两章，了解了ESS是怎么回事，同时发现，他的方法不能用于网络化的演化博弈。于是就根据他的思想，提出自己的定义和算法。
总之，个人以为，精读、泛读都很重要。精读增加工具，泛读扩大视野。在科研工作中，两者缺一不可。
1.3 自学能力的培养
我在清华上学的时候，学校经常宣传“猎枪与干粮”的理论，好像说是蒋南翔提出来的。说学校要交给学生的是猎枪而不是干粮。干粮有吃完的一天，而猎枪会让你永远有饭吃。这个说法很有道理。在学校修一门课两门课……那是干粮，而自学能力则是猎枪。美国一个历史学家亨利·亚当斯说过：“一个人年轻时懂了些什么无关紧要，只要懂得如何学习就够了。”(What one knows is, in youth, of little moment；they know enough who know how to learn.)
自己中学的时候，老师介绍看过不少趣味数学或物理小册子。例如华罗庚的《从杨辉三角谈起》，吴文俊的《力学在几何学中的一些应用》，别莱利曼的《趣味物理学》等，这不仅学到不少有用的知识，更重要的是，培养了读书的习惯和自学能力。这种能力让自己受益终生。
自己只上了一年零八个月大学，学的是焊接专业，数学只学过简单的微积分。文革十年，有两段时间，自己自学了几门数学和物理课程，一段是大串联到武斗，还有一段是分到数学教研组后的培训班。我自学了北大的《复变函数》，周伯勋的《线性代数》，格列坚科的《概率论》，艾利斯哥尔兹的《变分法》，还有康帕涅茨的《理论物理》力学部分。自学的方法很简单，就是每道习题都做一遍。故人说：“不动笔墨不读书”，对专业书籍，我把它改成：“不做习题不读书”。
还有一点自己比较得意的是英语，自己从初中到大学，一直学俄语。只是在文革中偷偷学了点英语，还曾因偷看《毛主席语录》英文版被人将大字报贴到宿舍门口。到考研时我虽然一天英语课都没上过，但居然考了80分，算比较高的分数了。这些自学的知识，使我能在文革结束后考上数学所的研究生。
我觉得自己一辈子得益于从中学开始的自学能力的培养，我对奥校之类填鸭式的知识灌输很反感，深信“自己学会读书、学会吸收新知识”才是猎枪，是做学问的真功夫。
2. 科研
科研是知识分子的必经之路，也是知识分子自我表现的舞台。怎样登台，怎样亮相，怎样让自己的表演酣畅淋漓，这绝非我这样的末流演员所能回答得了的。但毕竟在科研上摸爬滚打了多年，算是见过猪跑，讲一点体会和教训罢。
2.1 读书与科研
小时候听过一个笑话：一个秀才在家里愁眉苦脸地搜索枯肠写文章，看他苦不堪言的样子，他老婆就说：“看你们写文章好像比我们生孩子还难。”他回答说：“可不是，你们生孩子肚子里有东西，可我肚子里没东西呀。”这笑话用来比喻读书与发表文章还是很恰当的。
我在美国上学的时候，博士学位只有修课的要求：16门课，48学分，却没有发表论文的要求。我毕业时发了一篇期刊论文，一篇会议论文，按国内标准可能不够毕业。我有的同学毕业时并未发表任何文章，却照样毕业。而我修过的16门课却让我终生受益无穷。
个人以为，从长远看，打好基础比发表几篇论文重要得多。做学问就像盖房子，打不好基础是盖不成高楼的。我招研究生，硕士期间就发表了一堆论文的学生一律不要。你该念书时不念书，就学会拼凑垃圾论文，就像你学武功不练基本功，却学了花拳绣腿，道走歪了么。工欲善其事、必先利其器。搞基础理论研究，肚子里必须有几门过硬的课程当利器。林肯年轻时当过伐木工人，他说过一句话：“如果给我8小时砍倒一棵树，我会花6小时磨斧头。”只有厚积薄发，才能写出好文章。
2.2 选题
对大多数研究生而言，科研选题从读文献，Follow他人的工作开始，大致是对的。除非少数天才人物，科研总要从模仿开始。但模仿有两种，一种是纵向的，就是把人家的方法应用一下，这通常被称为成法套用，就像学生做Homework一样，没什么创新性。另一种是横向的，即发现它不完善的地方或者可以平行发展的地方。这样，你研究的对象与原来问题有所不同，需要一些新的方法或新的思维，这种工作就有一定创新性，可以提高你的科研能力。
通常这种模仿容易出一些小文章，这是必要的。早年听过逻辑学家王浩的一个报告，说：“这种小文章做几篇，知道自己会做了，就不要再做了，要找点大点的问题做。”这种大一点的问题应当是有前途的研究方向。
那么，什么是有前途的研究方向呢？这里想引用何毓琦先生的几段话：“常常有事业刚刚起步的青年科研人员向我询问，什么是有前途的科研方向。人们常常倾向于推荐自己目前正在做的研究，但这样建议别人是自私的，也是危险的。”何先生的建议是：“去找一个人们渴望解决的实际问题，而这个问题又是你感兴趣的，但不太了解的，全身心地投入进去，试图解决这个问题，但不限于使用你熟悉的现有工具。”
何先生提到这种研究方向的几个明显优势：(1)一旦获得成功，就有一些现成的人替你宣传；(2)你可以试图将这个发现拓展为一个全新的研究领域；(3)在一个目前还很少人涉及的研究领域，不用花太多力气学习积累下的文献资料；(4)新课题像新矿，花同样的力气，新矿的产出比老矿高得多。
我想，何先生这里强调的有两点：(1)寻找新的、有意义的问题；(2)发展和使用新工具。我很同意这种观点，自己也有类似的人生体会。
2.3 矩阵半张量积与我
矩阵半张量积是自己比较得意的一项工作。矩阵半张量积是矩阵普通乘法的一种推广，它使普通矩阵乘法可以用于任意两个矩阵而不改变其性质。我在1999年首次提出这种运算。当初主要是用它计算连续系统。2008年开始将其应用于一个新的较热门问题：布尔网络的分析与控制，得到成功。相关工作获国际自动控制联合会(IFAC)颁发的Automatica 2008-2010最佳理论/方法论文奖。
现在，国内至少有包括清华、北大、山大、同济大学等在内的十几个高校，都有教师用矩阵半张量积解决各类问题，国际上有意大利、以色列、美国、英国等学者使用矩阵半张量积。目前本人主要研究矩阵半张量积在博弈论，特别是网络演化博弈中的应用，感觉这是矩阵半张量积的一个大有可为的新领域。
相信新的工具和/或新的领域是产生创新科研成果的不二秘笈。
2.4 创新观念与想入非非
创新观念与想入非非表面上看很难界定，而且，它们的确是存在相关性的。那么，它们的区别在那儿呢？创新观念是建立在坚实的基础上，包括你对问题的来龙去脉的了解和对相关知识的掌握。探索真理只能在掌握前人已有知识和分析已有结论的基础上，然后像胡适所建议的：“大胆设想、小心求证”，缜密的分析、细致的甄别、严格的推理、透彻的论证。这才是理性的创新思维。
量子力学创始人普朗克：“唯有观念才能使实验者成为物理学家，使编年史者成为历史学家，使古抄本鉴别者成为语言学家。”不妨将它归纳如下：创新观念+知识积累=>学术突破。
创新思维需要敢于挑战权威，个人理解就是不迷信权威人士的言论，敢于思考，敢于批评权威的错误，做到真理面前人人平等。但挑战权威要建立在尊重科学的基础上。要敬畏真理，人类社会长期积累下来的，已经被严格证明了的知识，是人类的共同财富。在没有对其深入了解之时就随便挑战它，这就成了想入非非。
辟如一位老先生，他对伽罗华理论一无所知，基本数学训练也极其缺乏，就非要去解五次方程，犯下了很低级的错误。而当别人指出他的错误，所有人都看清楚他错在何处时，他居然还弄不明白，坚持自己“是完全正确的”。这不属于科学探索，而是典型的想入非非。其他一些民数也是如此，他们缺乏专业训练，幻想轻易破解世界难题，一夜成名。
德国著名启蒙思想家和诗人莱辛曾说过一段被黑格尔多次引用的话：“真理不是一枚铸币，现成地摆在那里，可以拿来藏在你的衣袋里。真理是一个过程，是在漫长的、发展的认识过程中逐渐被掌握的；在这一过程中，每一步都是它前面一步的直接继续。”
自然科学发展到今天，科学问题的解决更是如此。最典型的是近年数学上两大难题的突破。怀尔斯证明费马大定理，是建立在一系列前人工作的基础上，包括弗赖将费马大定理转换为椭圆方程，谷山一志村猜想，椭圆方程模型式等。佩雷尔曼证明庞加莱猜想也是如此，Ricci流是以意大利数学家里奇命名的一个方程。当哈密尔顿利用它将不规则流形变成规则流形时，丘成桐就敏锐地提出“可以用这个证明庞加莱猜想。”佩雷尔曼就是按哈密尔顿的方法做下去的，所以他自称：“我是哈密尔顿的门徒”。
马克思说：“在科学上没有平坦大道，只有在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望登上光辉的顶点。”这句话是至理名言，希望在科研中一蹴而就是懒汉无知的幻想。
3. 人生道路
“人生是一连串教训，要想理解人生就必须经历人生。” (Life is a succession of lessons which must be lived to be understood.)——爱默生
“无论发生了什么，都要直面人生”(Whatever reason，turn his back on life.)——罗斯福
3.1 人生路漫漫
人生是一段漫长的旅程，就像一场马拉松，风物长宜放眼量，一定不要计较一时的得失，谁笑到最后，谁才笑得最好。我曾经给自己写过这么一段话：“不要轻言放弃，只要还在跑道上，你就还有取胜的机会。”
如果人生是万米长跑，考上大学大概是百米节点，博士毕业大概是千米节点。真正的人生竞争在于千米后的漫漫长途。我对“不要输在起跑线上”的说法很不以为然。谁见过马拉松比赛上来就拼命的？有些学生，将大学当作终点，即使以百米速度冲进清华、北大，但后劲不足，还是可能败下阵来。
哈佛大学教授Brockett，被人称作“非线性系统几何理论之父”，而他的博士论文是化学专业的。一次聊天，我问他：“你是化学博士，怎么会想到用微分几何做控制？”他回答说：“PhD is only the entrance ticket to scientific palace. (博士学位只是科学殿堂的入门卷。)”
屈原的名言：“路漫漫其修远矣，吾将上下而求索。”年轻人对于人生道路既要未雨绸缪，放眼将来，以免“人无远虑，必有近忧”；又要脚踏实地，耕耘不辍，让“千里之行，始于足下。”
3.2 失败是最好的老师
对年轻人来说，要选定一个人生目标，然后坚定不移向这个目标前进。要有胜不骄败不馁的精神。特别是要经得起失败的考验，在人生道路上，挫折是比成功更好的老师。
《哈利波特》的作者罗琳，2008年在哈佛大学演讲，题目是：“从失败中学习经验和利用想象力”(Learn from failure and make use of imagination)。她曾经是单亲母亲，靠社会福利生活，她称自己当时是：“我所知道的最彻底的失败者。”她后来成为英国除女皇外身价最高的人。她说：“失败教会我很多，而这些不能通过任何其他途径了解到。通过失败，我发现自己拥有了坚强的意志。”“一旦你意识到自己已经在挫折中变得明智和坚强，那么从此以后你就获得了保证自己生存下去的能力。如果不在逆境中接受考验，你可能永远都无法了解自己。”
自己在人生路上也受过几次重挫，每次都让自己变得更坚强。初中一年级，我刚考上“福州第一中学”，是福州市最好的中学。我却无意间信手涂鸦，写了“反动标语”，被开除队籍。这让我比较早开始用功。中考以全校第一的成绩留在了福州一中；文革前，我在清华，入团，当了班干部，入党积极分子，又是因材施教的对像，对人生、爱情充满幻想。文化大革命，我又被点名为“反动学生”，像得了疥疮，两派都不要我。我偷偷跑到圆明园，在乱石丛中看书，后来考上文革后第一届研究生；我曾在德州理工大学教书，由于家庭原因，我辞职回国。后来我把成功的希望寄托于自己，拼命工作。有时觉得命运对我不公平，但其实正是坎坷的人生造就了今天的我。
3.3 机会只青睐有准备的人
“机会只青睐有准备的人”这是我最深刻的人生感悟之一。几次经历，让我对此深信不疑。
64年高考数学，据说是出了偏题难题。第八题是：“正方形内切两圆，一圆切左边与上边，另一圆切右边与下边，两圆相切，问何时两圆面积和最大？最小？”后面两道附加题，一是将正方形换为长方形；一是将正方形和圆换作立方体和球。我相信如果在现场，自己是想不出来的。但自己曾做过一道上海市数学竞赛题，求二次型在区间内极大极小。用这方法不难解出上面的问题。我成为福建省唯一完整解出这道题的学生，得了119分，是当年最高分。那几道偏题给了自己机会。
文革中读书无用论甚嚣尘上，我却自学了几门数学和英语，当时未必知道它们有用。但后来恢复研究生制度，它们帮我考上数学所，当年的录取率是五十比一。
我刚开始用半张是积表示逻辑等式时并不知道它有什么用。后来偶尔听清华赵千川教授在香港做的关于布尔网络的学术报告，当时就觉得逻辑的半张量积表示可能能用上。我当晚就把他请到宿舍讨论，后来形成了布尔网络控制的一套理论。
总之，做学问不能太功利，要不拘一格，刻苦钻研。天道酬勤，机会大致是同你的知识储备成正比的。
3.4 经历远比占有重要
卢梭曾说过：“生活本身没有任何价值，它的价值在于如何使用它。”每个人都活一辈子，或者说，都到这个世界上来走一遭，怎样才能使这一遭更有价值呢？
我以为不在于功名利禄、荣华富贵，而在于经历过、奋斗过，有一份精彩的人生历程。托尔斯泰在他的名著《安娜·卡列林娜》开篇就说：“幸福的家庭家家都一样，不幸的家庭一家一个样。”与此类似，我们也可以说：“顺畅的人生人人都一样，坎坷的人生则是一个人一个样。”不要去羡慕官二代、富二代，要用自己的奋斗去谱写自己声色独具的人生故事。
英国作家史蒂文森因患肺病周游世界各地，期间发表了大量游记和短篇小说。他曾感慨地说：“满怀希望的旅程比到达更重要，真正的成功在于进取。”(To travel hopefully is a better thing than to arrive，and the true success is to labor.)
爱因斯坦本人曾坦率地把自己称之为是“一个流浪汉和离经叛道的怪人。”年轻人不妨学学爱因斯坦，做一个流浪汉，到世界上不同的地方去流浪，到不同的学术领域去流浪，以增长自己的知识和才干；做一个离经叛道者，不循规蹈矩，去走前人未走过的道路，去披荆斩棘，开拓新的领域。如果这样，不管成功或失败，你的精神世界都会是富足的，你的人生都会是精彩的。
3.5 人生的目的
我一直认为，一个人活着就要有理想。我曾在一篇博文中写过：理想是什么？它是心头一缕淡淡的念想，一种对美好未来的期盼；它是胸中一丝拳拳的思绪，一份对事业和成功的渴望；它是一股向上的情结，催促你去实现自己最大的人生价值。它看不见、摸不着，却始终伴随着你。在困难的时候，它给你坚持下去的毅力；在失败的时候，它给你抚平创伤、从新站起的勇气；面对挑战，它让你知难而上；身陷歧途，它为你指点迷津。
我年少时也曾狂妄，自以为天下英雄，舍我其谁。几十年的经历让我看到，许多自己曾经看不上的人，在不同的领域，做出很出色的工作，让自己望尘莫及。终于明白了一个道理，每个人都有自己的长处，都应当有自己的理想，自己的梦，都可以去实现自己人生的最大价值。因此，我对理想的理解，不再是像科学家、工程师、甚至诺贝尔奖……这样的终极目标。它应该是一个过程，一种心态。一种努力拼搏的精神，一份永不放弃的追求，永远力争做到自己的最好。
有同学问我：“你现在的理想是什么？”我想：“我的理想是自己的工作能被留在历史上。”历史是公正的，它不会承认“头衔”、“官位”，被历史的长河淘洗过而能留下的才是金子。
奥斯特诺夫斯基在《钢铁是怎样练成的》中有句名言：“人最宝贵的东西是生命，生命属于人只有一次。人的一生应当这样渡过，当他临死时回首往事，他不因虚度年华而懊悔，也不因碌碌无为而羞耻……”也许，我们每一天都应该问问自己：“今天，我是在碌碌无为地虚度年华吗？”
我喜欢艾青的一首诗：
即使我们只是一支蜡烛，
也应该蜡烛成灰泪始干；
即使我们只是一根火柴，
也要在关键时刻有一次闪耀；
即使我们死后尸骨腐烂，
也要变成磷火在荒野中燃烧！
年轻的朋友们，愿你们的生命发出更加绚丽的光彩！
当以真诚待科研
原本不想再就五次方程解这个问题发什么议论了，但有人还在发奇谈怪论，有人一而再、再而三地揪住我不放。实在忍无可忍，还想再说几句。
一、关于五次方程解的最后说明（这个说明完全放弃数学的严格论述，希望仅具中学数学基础的年轻朋友也能看懂）
1.1 什么是不可约方程
最常用的数域有三个：有理数，实数，复数。它们之所以称为数域，是因为在其中可以做“加、减、乘、除”（做除法时分母不为零）。整数集合就不是域，因为不能做除法（即整数除整数一般不再是整数）。一个以整数为系数的多项式，或一个以有理数为系数的多项式（在解方程时，乘系数的公分母，后者就可以转换为前者），它可约，就是它可以表示为两个（不小于一次的）多项式的乘积。谈到可约、不可约时，一定要强调分解出的两个因子多项式的系数在那个域中。具体地说，就是它在有理数域是否可约，在实数域是否可约，在复数域是否可约。抽象地说一个多项式可约，不可约是没有意义的。
举几个简单例子：(i) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$，因此，$x^2-x-2$在有理数域可约。(ii) $x^2-2$，它在有理数域不可约，但在实数域可约：$x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$。(iii) $x^2+4$在实数域也不可约，但它在复数域可约：$x^2+4=(x+2i)(x-2i)$。
那么，在讨论五次方程解时，可约性应该指在那个数域中可约呢？代数基本定理说,在复数域每个n次方程都有n个根。也就是说，在复数域，每个$n$次多项式都能分解成：$(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$。因此，在复数域里,任何二次及以上的多项式均可约。
由中学数学知道，实系数方程虚根成对。因此，每个五次有理系数方程至少有一个实根，即五次有理多项式在实数域都可约。因此,谈论五次有理多项式可不可约只有对有理数域才有意义。这是研究高次方程解时大家公认的事实，例如, $x^5-2$是不可约的。
1.2 什么是五次方程公式解
一个多项式方程的公式解（也称根式解）,指的是方程的根是否可以用其系数通过有限多次加、减、乘、除、根式运算表示出来。（其实，这与多项式可约、不可约毫无关系。）
所谓公式解是指对任何一个方程，用同样的步骤，可以将其解表示出来。（回忆二次方程的解公式，就不难理解这一点。）因此，只要举出一个方程，它的根不能用其系数通过有限多次加、减、乘、除、根式运算表示出来，就说明这一类方程没有公式解。
“一般五次方程没有公式解”，这是一个数学上早已严格证明过的结论。它是阿贝尔最早证明的。这个结果已经被载入数学史。[1]中有这么一段话：“It was Niels Henrik Abel who finally proved (in 1827) the impossibility of solving a general equation of degree 5 or higher in terms of radicals.”(是阿贝尔在1827年最后证明了用根式解一般的五次或更高次方程是不可能的。)
1.3 伽罗华理论究竟讲了什么？
想将伽罗华理论的内容在这里讲清楚是不可能的(虽然我可以负责任地说，我对这部分内容完全掌握),但我可以将它到底讲的是什么讲清楚：对于每一个一元有理多项式，伽罗华都定义一个用来刻画这个多项式本质的东西，这个东西后来被称为伽罗华群。伽罗华理论讲的是：一个有理多项式有根式解，当且仅当它的伽罗华群可解。(这里，可解是指可分解成一列嵌套的正规子群。这超出本文范围，读者也不必细究，这不妨碍本文阅读。)
二、关于吴老先生最新结果的批判
最近，吴老先生在《任意5次不可约代数方程仅由其各系数有理运算表达的公式解》一文中称“具体给出任意5次不可约代数方程的仅由其各系数有理运算表达的公式解。”强调说是“这些解都是根本不引进任何根式，仅由其各系数的有理运算表达的公式解。”
根据吴老先生的新“理论”，一个有理系数的不可约五次方程，它的解可由有理系数经有理运算表达。有理数经过加、减、乘、除这些有理运算得到的当然是有理数。这就是说，有理系数五次（或更高次）方程的根都是有理数。任何一个学过二次方程解的中学生都不会相信这种奇谈怪论吧？
举一个简单例子，$x^5-2=0$。大家都知道，它有一个无理数根，四个复数根。这些根怎么可能用有理数来表示呢？吴老先生为什么连这么简单的方程都不能用你那“公式”算一算呢？
实际上，如果一个有理系数五次方程$P(x)=0$有一个有理数根a，那它就能表示成$P(x)=(x-a)Q(x)$，这里$Q(x)$是四次多项式，经比较系数就可知，$Q(x)$也是有理系数的。换言之，$P(x)$可约。因此，如果吴老先生的结论对：即，不可约有理系数五次方程有有理根（也就是有理系数经有理运算得到的根）。那么，这等于说：“不可约有理系数五次方程是可约的。”世界上还有比这个更荒谬的结论吗？
三、要以一颗真诚的心对待科学研究
一个农民，他对自己地里长的庄稼会真心相待，一个工人对自己的制作也会十分珍惜。只有这样，庄稼，产品才会给你回报。作为一个科学工作者，也应当以一颗真诚的心对待自己的科研工作。你的每一项工作，每一篇论文，都是你的产品，你的Baby，要用你的心去爱它，千万不能制造假冒伪劣的产品去骗取功名利碌。个人以为，对科研的真诚态度至少应包括以下几点：
3.1 知之为知之，不知为不知
要有实事求是的态度，知之为知之，不知为不知。不能想当然，强不知以为知。吴老先生正是犯了“想当然”的毛病。他对伽罗华理论完全不懂。伽罗华理论的核心是伽罗华群和它的可解性，吴老先生在谈到伽罗华理论时从未提及这些。
他用自己的想象代替伽罗华理论，信口开河地说：“伽罗华的理论所证明的，实际上，也只是：‘在求解$n$次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，$n*$，应是小于$4$’，并非所解方程的次数，$n$，应是小于$4$，并非方程的次数$n$大于4就不能有根式解。”这是典型的胡说八道。以$x^5-2=0$为例，它的一个根是$\sqrt[5]{2}$。你怎么可能用根指数小于$4$的根式表示这个解呢？
吴老先生多次提到：“学术界似乎已公认(或说‘一般认为’) $n>4$的不可约代数方程没有根式解。”这又是一个外行的奇谈怪论。任何一个学过抽象代数的人都不会认为：“$n>4$的不可约代数方程没有根式解。”例如，$x^5-2=0$就有根式解。伽罗华理论说的是：不是所有的$n>4$的不可约代数方程都有根式解。有的有，有的没有，要看它对应的伽罗华群是否可解。
吴老先生还说：“阿贝尔没有证明，一般五次方程没有根式解。”我给你指出了[2]中就有证明。其实，我在[3]中也给出了详尽证明，它基本上是[2]中的证明。
每个人都有一个从不懂到懂的认知过程。不懂是正常的，但要实事求是，不能不懂装懂。作为一个资深学者,更不能信口开河，这样会误导年轻人。再有，我不反对挑战权威，但你首先要弄懂你挑战的对象。在一知半解,甚至连一知半解都没有的情况下，不负责任地信口雌黄，这不是科学研究，不是探索，而是哗众取宠。
3.2 要勇于承认错误，不要文过饰非
个人认为，在科研的时候，犯错误不仅是难免的，而且是一种常态。只有在不断犯错,不断纠正错误的过程中才有希望达到最后的正确的结论。但错了就要承认，不要文过饰非。
吴老先生在2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”中给出根式解法。本人先从理论上证明了它是错的，而后,在应行仁、徐晓等网友的共同下，我们用具体数值例子验证了其公式是错误的。但吴老先生不顾事实,蛮横地说：“告诉你吧,我给任意五次不可约方程根式解完全正确。”这不是一个科学家对科学讨论应有的态度。一个科学工作者要尊重事实、敬畏真理。在学术上犯错误其实并不丢脸，罔顾事实，坚持错误，这才可耻。
我有一篇文章，发在2011年IEEE TAC第一卷第一期的第一篇长文。在山大给学生讲课时，一位学生指出一个推论有问题。发现她的观点是对的，我当时确实有点失落。但我还是鼓励她写一个Comments。写好后我还帮她修改。最后这个批评我的Comments也发在TAC上了。我相信，在学术问题上,对就是对，错就是错，任何人在真理面前都没有讨价还价的余地。
3.3 正确对待科学争论
有人把所谓“程吴之争”说成是掐架，指责我“不负责任”。我不认为这是什么个人之争，而是学术讨论。我自信还是努力摆事实讲道理的。即使我对吴老先生的数学水平评价很低，但那也是我从他论文中得出的结论，是个人的评价。
有人说我数学水平低，不懂什么是代数数，什么是超越数。即使我不认可，但以为你完全有权这么讲，一点都不过分。但吴老先生对我的用词包括：“可笑”、“卑劣”、“恶劣”、“不通人性”、“学阀”、”学霸”、“耍两面派”、“不讲道理”、“胡说八道”。对此，我固然可以一笑置之，但还是以为在科学争论中这些是不宜的。
其实，在科学问题的争论中，尊重对方也就是尊重自己。
四、关于民科与民数
我开始常用“代数”或“民科”批评非专业人士，一些网友批评了我。反思之后我以为，从事科研不在于他（她）的社会地位，而在于他（她）是否以科学的态度对待科学问题。有网友提到：当年出山前的华罗庚，还有今天的佩雷尔曼，都是民数。我想，他们说的都对的。甚至最近证明了弱孪生素数猜想的张益唐，算为民数也不过分。
现在我相信，一个人只要对科学有一颗真诚的心，用科学的、实事求是的精神去探索科学真理，而不是将科研当获取名利的敲门砖，蝇营狗苟，投机取巧，他就是一名合格的科研人员。只要努力，他就会有登顶的希望!
参考文献
[1] V.J. Katz, 《数学简史》(英文版), 机械工业出版社, 2004.
[2] C.C. Pinter, A Book of Abstract Algebra, McGraw-Hill Pub., 1990.
[3] 程代展, 《系统与控制中的近代数学基础》, 清华大学出版社, 北京, 2007.
2022年8月16日 01:25
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