判断题：若级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n^3$ 收敛, 则$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n}$亦收敛.

反例：(老骥伏枥)令$a_{n}=\frac{1}{\log n}\sqrt[3]{\cos\frac{2n\pi}{3}}$,所以$a_{n}^3=\frac{1}{\log^3n}\cos\frac{2n\pi}{3}$.用狄利克雷判别法级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^3$收敛.(因为$\frac{1}{\log^3n}$递减趋于零, $\cos\frac{2n\pi}{3}$部分和有界).而

\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}&=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{1}{(3k+3)\log(3k+3)}-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\left(\frac{1}{(3k+1)\log(3k+1)}+\frac{1}{(3k+2)\log(3k+2)}\right)\right]\\&\sim\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k\log k}\end{align*}

发散。（柯西积分判别法）

如果是正项级数,根据Holder不等式能够说明$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n}$收敛.

• 在$\mathbb{R}$上连续的有界函数一定一致连续吗?

考察函数$$f(x)=\sin x^2.$$

• 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可微,则$f'(x)$在$[a,b]$上有界?

考察函数\[f(x)=x^{\frac32}\sin\frac1x.\]

• 存不存在这样函数, $f(a)=0$, $f(x)$在区间$[a,b]$上连续,在区间$(a,b)$上可导且$f(x)>0$,而对任意$\varepsilon>0$,函数在区间$(a,a+\varepsilon)$是不单调递增的?

考察函数\[x\sin \frac1x+10x.\]

• 是否存在仅在一点可导而在该点之外的每一点都不可导的函数?

考察函数\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x\text{为无理数}\\0,x\text{为有理数}\end{array} \right.\]在点$x=0$即可.