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中国科学技术大学第七届大学生数学夏令营试题

中国科大第七届大学生数学夏令营

数学分析试卷

考生姓名所在学校得分

一、(15分)

1.试用$\varepsilon-\delta$语言证明: $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac1{x^2}=0$;

2.设函数

\[f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac1{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0);\\0,&(x,y)= (0,0).\end{cases}\]

试求$f'_x(0,0)$和$f'_y(0,0)$.

二、(30分)

1.求函数$f(x)=x^2e^x$的$10$阶导数$f^{(10)}(x)$;

2.将函数$f(x)=\ln (1+\sin x)$在$x=0$处Taylor展开到$3$阶,带Peano余项;

3.求$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$;

4.求$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$.

三、(30分)

1.求平面曲线$\displaystyle x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$的长度;

2.设$a,b>0$,求平面曲线段$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\, (a\leq x\leq a+b)$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积;

3.求$\displaystyle\int_\Sigma x^3d\sigma$,其中$\Sigma$是球面$x^2+y^2+z^2=R^2,R>0$, $d\sigma$是曲面的面积元;

4.设$\mathbb{R}^3$中曲线$\Gamma$是曲面$f(x,y,z)=0$和曲面$g(x,y,z)=0$的交线,且变量$x$可以作为它的一个参数,求曲线$\Gamma$的切向量.

四、(15分)

1.设函数$f(x)=\arcsin (\cos x)$,将$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上展开成Fourier级数,并讨论此Fourier级数的收敛性;

2.求向量场$\vec{V}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$在曲面$S$上的第二型曲面积分,这里设曲面$\displaystyle S:\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}$,正向为外法向.

五、(15分)

设$(a,b)$是有界开区间, $f(x)$是定义在$(a,b)$上的一致连续函数.证明$f(a^+)$和$f(b^-)$存在有限;并举例说明当$b=+\infty$时上述结论不成立.

六、(15分)

设定义在有界闭区间$[a,b]$上的函数$f(x)$满足$f''(x)>0$,且$f(a)>0,f(b)<0$.

1、证明存在唯一的$c\in (a,b),f(c)=0$;

2、设$x_0\in (a,b),f(x_0)>0$,定义数列$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}(n=0,1,2,\ldots)$.证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=c$.

七、(15分)

设$f(x)$是闭区间$[0,1]$上的Riemann可积函数, $\lambda>0$是定数.定义$D_\lambda (f)=\{x\in [0,1] |\,\omega_f(x)\geq\lambda\}$,其中$\omega_f(x)$为函数$f$在点$x$的振幅.证明:对任意$\varepsilon>0$,存在有限个开区间$I_1,I_2.\ldots,I_m$满足

(1) $\displaystyle D_\lambda (f)\subset \bigcup_{k=1}^m I_k$;

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^m |I_k|<\varepsilon$,这里$|I_k|$是区间$I_k$的长度.

八、(15分)

设平面区域$D=\left\{(x,y)|\, x^2+y^2\leq 1\right\}$,函数$f(x,y)\in C^3(D)$且$f(0,0)=0$.

1.试证明:存在$\phi (x,y),\psi (x,y)\in C^2 (D)$满足

\[f(x,y)=x\phi (x,y)+y\psi (x,y);\]

2.若$\nabla f(0,0)=0$,试证明:存在$a(x,y),b(x,y),c(x,y)\in C^1(D)$满足\[f(x,y)=x^2a (x,y)+2xyb(x,y)+y^2 c(x,y);\]

3.设$\nabla f(0,0)=0$且$f(x,y)$的Hessian矩阵在$(0,0)$点正定.试证明:在原点附近存在参数变换$(u,v)\to (x,y)=\Phi (u,v),\Phi (0,0)=(0,0)$,使得\[f(u,v)=f\circ \Phi (u,v)=u^2+v^2.\]

中国科学技术大学2017大学生数学夏令营

线性代数与解析几何

说明：考试时间180分钟，试卷满分150.

一、填空题(每空5分，共40分，结果须化简)

1.设四面体$ABCD$的四个顶点坐标分别为$A(1,2,3),B(-1,0,2),C(2,4,5),D(0,-3,4)$,则$ABCD$的体积为 .

2.椭圆$x^2-xy+y^2-x=1$长半轴的长度为 .

3.直线$l:x-1=y=z$绕$z$轴旋转所得旋转面的方程为 .

4.设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三次方程$x^3+2x^2+4x-1=0$的三个根,则行列式$\left| \begin{matrix}\alpha _1& \alpha _2& \alpha _3\\\alpha _2& \alpha _3& \alpha _1\\\alpha _3& \alpha _1& \alpha_2\\\end{matrix} \right|=$ .

5.设矩阵$A=\left( \begin{matrix}1& \sqrt{3}\\-\sqrt{3}&1\\\end{matrix} \right)$,则$A^{2017}=$ .

6.设$\mathbb{R}^4$中向量组$\alpha_1=(1,2,-1,2),\alpha_2=(a,-4,1,0),\alpha_3=(2,-1,0,1)$的秩为$2$,则$a=$ .

7.设$\mathbb{R}^3$中线性变换$\mathcal{A}$将向量$\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(0,0,1)$分别映射为向量$\beta_1=(-1,1,6),\beta_2=(-1,1,2),\beta_3=(0,-1,2)$,则$\mathcal{A}$在标准基$\mathbf{e_1}=(1,0,0),\mathbf{e_2}=(0,1,0),\mathbf{e_3}=(0,0,1)$下的矩阵为 .

8.二次型$Q(x,y,z)=\lambda (x^2+y^2+z^2)+3y^2-4xy-2xz+4yz$正定的充要条件是$\lambda$满足 .

二、判断题(每小题5分，共35分.判断下列叙述是否正确,并简要说明理由)

1.三维空间中向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$共面当且仅当$\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{c}\times\mathbf{a}$共面.

2.若实方阵$A$满足$\det (A)>0$,则存在实方阵$B$,使得$B^2=A$.

3.设向量组$\alpha_1,\ldots,\alpha_m$线性无关,且它们可以由向量组$\beta_1,\ldots,\beta_m$线性表示,则$\beta_1,\ldots,\beta_m$也线性无关.

4.设$F^{n\times n}$是$n$阶方阵全体按矩阵加法与数乘构成的线性空间. $W$是$F^{n\times n}$中可逆方阵全体构成的集合,则$W$是$F^{n\times n}$的子空间.

5.设$n$阶复方阵$A$与$B$相似,则它们的最小多项式相同.

6.对于任意实方阵$A$,存在可逆实方阵$P$,使得$P^{-1}AP=A^T$.

7.任何实方阵都可以分解为一个正交阵与一个上三角阵的乘积.

三、解答题(请从以下5题中任选4题，共75分.请给出详细解答过程)

1.在空间直角坐标系中,求过原点的平面$\pi$,使得它与柱面$S:3x^2-2xy+3y^2-10x-2y+10=0$的交线为圆.

2.给定$n$阶方阵$A=(a_{ij})$,其中$a_{ii}=2i+1,i=1,2,\ldots,n;a_{ij}=i+j\, (i\neq j),i,j=1,2,\ldots,n$.求矩阵$A$的行列式及逆矩阵.

3.设$n$阶复方阵$A,B$满足$AB=BA$.证明:存在复向量$\alpha$既是$A$的特征向量,也是$B$的特征向量.

4.给定方阵$A\in F^{n\times n}$,定义$F^{n\times n}$上的映射$\mathcal{A}:X\longrightarrow AX-XA$.

(a)证明$\mathcal{A}$是线性映射,并且$\mathcal{A}$不可逆;

(b)假设$A$可以对角化,则$F^{n\times n}=\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\oplus \mathrm{Im}(\mathcal{A})$是否成立?请说明理由.

5.设$A$是$n$阶实对称正定方阵, $K$是$n$阶非零反对称方阵.证明: $\det (A+K)>\det (A)$.

国科大硕转博公共基础课考试试题

2016年9月17日，国科大举行硕转博公共基础课考试，试题分三个方向，考试满90分才算合格！

数学：三选二（公共基础部分）

分析

一、求\[I=\int_0^{2\pi} \frac1{a+\cos\theta}d \theta,\quad a>1.\]

二、设复变函数$f(z)$为整函数,且存在正整数$n$以及常数$R>0,M>0$,使得当$|z|>R$时,有$|f(z)|\leq M|z|^n$.试证明: $f(z)$是一个至多$n$次的多项式或一常数.

三、陈述Lebesgue控制收敛定理并证明\[\lim_{n\to+\infty}\int_0^\infty\frac{\ln (x+n)}ne^{-x}\cos xd x=0.\]

四、陈述开映射定理并证明:设$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是线性空间$X$上的两种范数,且使得$(X,\|\cdot\|_1)$和$(X,\|\cdot\|_2)$都是完备的.若存在常数$a>0$使得对任意$x\in X$,有$\|x\|_2\leq a\|x\|_1$,则一定存在常数$b>0$,使得对任意$x\in X$,有$\|x\|_1\leq b\|x\|_2$.

代数

一、设$a$和$b$是群$G$的元素,阶数分别为$m$和$n$, $(m,n)=1$且$ab=ba$.证明$ab$的阶为$mn$.

二、设$S_n$是$\{1,2,\cdots,n\}$上的$n$次对称群.证明:

1) $S=\{\sigma|\sigma\in S_n,\sigma (1)=1\}$是$S_n$的子群;

2) $\{(1),(1,2),(1,3),\cdots,(1,n)\}$组成$S$在$S_n$中的一个左陪集代表元素.

三、设群$G$作用在集合$X$上.记$n$为$X$在$G$作用下的轨道个数,对任意$a\in X$,记$\Omega_a=\{ga|g\in G\}$是$a$所在的轨道, $Ga=\{g\in G|ga=a\}$为$a$的固定子群.对任意$g\in G$,记$f(g)$为$X$在$g$作用下的不动点个数.证明:

1) $b\in\Omega_a\Leftrightarrow \Omega_a=\Omega_b$;

2) 对任意$g\in G$,有$G_{ga}=gG_ag^{-1}$;

3) $\sum_{g\in G}f(g)=n|G|$.

四、设$R,S$是环, $f:R\to S$是环的同态.证明同态核$\ker f$是环$R$的理想,并且映射

\begin{align*}F:R/\ker f&\to S\\\overline r&\mapsto f(r)\end{align*}

是环的单同态,特别地: $F:R/\ker f\to \mathrm{Im} f$是环的同构.

五、证明多项式$x^2+x+1$与$x^3+x+1$在$\mathbb{Z}_2$上不可约,并求出有限域$\mathbb{Z}_2$上的全部三次不可约多项式.

几何拓扑

一、在实数集$\mathbb{R}$上定义一个拓扑,使其包含$(0,2)$与$(1,3)$,且包含尽可能少的开集.

二、设$X$是一个拓扑空间, $A$与$B$是$X$的子集, $\overline A$与$\overline B$分别为$A$与$B$的闭包.证明若$A\subset B$,则$\overline A\subset \overline B$.

三、设$\{X_n\}$是具有标准拓扑的实数集$\mathbb{R}$中的数列,其中$x_n=\frac{(-1)^n}n$.

1) 证明每个含$0$的邻域都包含某个开区间$(-a,a)$;

2) 对任意的$a>0$,存在$N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n\geq N$时,有$x_n\in (-a,a)$.

四、求$E^3$中曲线$r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$的曲率和挠率,其中$a$和$b$是不为$0$的常数.

五、求$E^3$中曲面$r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$的高斯曲率和平均曲率.

系统科学、控制论（公共基础部分）

一、（50分）简述以下概念和原理：

(1) 对偶原理；

(2) 分离性原理；

(3) 最小实现；

(4) 平衡点；

(5) 渐进稳定性。

二、（20分）判断下述系统是否能控：

\[\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1&0&0\\0&{ - 1}&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\{ - 1}\end{array}} \right]u.\]

三、（20分）判断下述系统是否能观测：

\[\left\{ \begin{array}{l}\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\{ - 2}&{ - 4}&{ - 3}\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]u,\\y = cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&4&2\end{array}} \right]x.\end{array} \right.\]

四、（20分）判断下述系统的稳定性：

\[\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2},\\{{\dot x}_2} = - {x_1}.\end{array} \right.\]

五、（20分）证明线性系统能观测性在输出反馈下保持不变。

六、（20分）设开区域$D$满足$0\in D\subset \mathbb{R}^n$。考虑系统$$\dot x=f(x),$$其中$f:D\to \mathbb{R}^n$是局部李普希兹函数，并且$f(0)=0$。如果存在连续可微函数$V:D\to \mathbb{R}$满足

(i) 当$x\in D-\{0\}$时$V(x)>0$，且$V(0)=0$,

(ii) $\dot V(x)\leq 0,x\in D$,

证明$x=0$稳定。

统计学（公共基础部分）

一、（15分）数列$\{a_n\}$满足关系式$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},a_1>0$.求证$\lim_{n\to\infty} n(a_n-n)$存在.

二、（15分）设$f(x)$在$(a,b)$内二次可导,且存在常数$\alpha,\beta$,使得对于$\forall x\in (a,b)$

$$f'(x)=\alpha f(x)+\beta f''(x),$$则$f(x)$在$(a,b)$内无穷次可导.

三、（15分）求幂级数$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1)^n$的收敛域与和函数.

四、（15分）设$f(x)$是$\mathbb{R}$上有下界或者有上界的连续函数且存在正数$a$使得$$f(x)+a\int_{x-1}^x f(t) dt$$为常数.求证: $f(x)$必为常数.

五、（15分）设$f(x,y)$在$x^2+y^2\leq 1$上有连续的二阶偏导数, $f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2\leq M$.若$f(0,0)=0,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$,证明$$\left |\iint_{x^2+y^2\leq 1}f(x,y)dxdy\right |\leq \frac{\pi\sqrt{M}}4. $$

六、（15分）已知\[A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right),\]求$A^{2016}$.

七、（15分）已知\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right),\]而$A^n=\alpha_nI+\beta_n A$.求$\alpha_n,\beta_n$.

八、（15分）在$\mathbb{R}^4$中,$$\alpha=(1,1,-1,1),\beta=(1,-1,1,1),\gamma=(1,0,1,1),M=(\alpha,\beta,\gamma),$$求$M^\bot$的一组标准正交基.（数据忘记了）

九、（15分）已知线性空间$M=\{(x,y)|x-2y+z=0\}$,求$u=(1,2,3)'$在$M$上的正交投影.

十、（15分）设$u,v\in \mathbb{R}^n$,若$u'u=v'v$,证明存在$n$阶正交矩阵$Q$,使得$Qu=v,Qv=u$.

中国科学技术大学2016年秋季博士资格考试试卷

中国科学技术大学

2016年秋季博士资格考试试卷

代数学

$1.$(40分)考虑形式幂级数环 $\mathbb{C}[[x]]=\{\,a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsb \mid a_i\in\mathbb{C}\,\}$ 考虑$2$阶全矩阵环 $R=M_2(\mathbb{C}[[x]])$．

(1) 证明$\mathbb{C}[[x]]$为 Noether 整环；

(2) 描述$\mathbb{C}[[x]]$全部的有限生成不可分解模，并给出论证；

(3) 给出环$R$全部的双边理想，并给出论证；

(4) 描述$R$上全部的有限生成不可分解左模，以及这些模的自同态环．

$2.$(40分)将Abel群与$\mathbb{Z}$-模等同起来，考虑Abel群$G=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}$．

(1) 列出群$G$的全部子群，并给出论证；

(2) 将$G$的每个商群都分解成不可分解群的直和，并给出论证；

(3) 列出群$G$的全部直和项，并给出论证；

(4) 描述$G$的自同构群．

回顾：Abel群$G$的子群$A$称为直和项，若存在另一子群$B$满足$G=A+B$以及$A\cap B=\{0\}$．

$3.$(20分)具体给出代数同构

$$\mathbb{C}S_3 \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}\times\mathbb{C}\times M_2(\mathbb{C})\text{，}$$其中$\mathbb{C}S_3$为$S_3$的群代数；并给出相应的论证．

提示：利用不可约复表示．

分析学

$1.$设$f$是$\mathbb{R}^d$上的可积函数，对于任意的$\alpha > 0$，定义$E_\alpha=\{\,x\,\mid \left|{f(x)}\right|> \alpha\,\}$.证明：

$$\int_{\mathbb{R}^d} \left|{f(x)}\right|\,{\mathrm d}x= \int_0^\infty m(E_\alpha)\,{\mathrm d}\alpha\text{．}$$

$2.$设 $\mathbb{R}$ 上的可积函数 $f$ 和可积函数列 $f_n$ 满足

$$\int_{\mathbb{R}} \left|{f_n(x)-f(x)}\right|\,{\mathrm d}x \leqslant \frac1{n^2}\text{，}$$证明：$f_n\rightarrow f$ a.e. $x\in\mathbb{R}$．

$3.$设 $f(x)$ 在任一区间 $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ 上都绝对连续，证明：对任意的 $y\in\mathbb{R}$，

$$\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}y}\int_a^b f(x+y)\,{\mathrm d}x= \int_a^b \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}y} f(x+y)\,{\mathrm d}x\text{．}$$

$4.$设对某个 $1<p<\infty$，$f_n\in L^p([0,1])$，$||f_n||_{L^p} \leqslant 1,\,\forall n$．如果 $f_n\rightarrow 0$ a.e.

证明：$f_n$ 在 $L^p([0,1])$ 中弱收敛到 $0$．

$5.$利用残数定理计算积分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\mathrm e}^{ax}}{1+{\mathrm e}^x}\,{\mathrm d}x\text{．}$$

$6.$若函数 $f(x)$ 在区域 $0<|z-a|<R$ 内解析，且不恒为零，如果$f(x)$有一列异于$a$且以$a$为聚点的零点．

证明：$a$是 $f(z)$ 的本性奇点．

$7.$设单连通区域$\Omega$上的全纯函数列$f_n$在$\Omega$的任意紧集上一致收敛到函数$f$．

(a)证明：$f$ 是$\Omega$上的全纯函数，并且当$n\to\infty$时，$f_n^{(k)}$在$\Omega$的任意紧集上一致收敛到函数 $f^{(k)}$；

(b)设$$\sup_{n\geqslant 1} \#\{\,z\in\Omega \mid f(z)=w\,\}\leqslant N <\infty\text{，}$$

证明：在$\Omega$中或者 $f\equiv w$，或者$$\#\{\,z\in\Omega \mid f(z)=w\,\}\leqslant N\text{．}$$

$8.$令$V,W$ 是Banach空间，$B:V\times W\rightarrow \mathbb{C}$是关于每个变量都连续的双线性泛函，即对于任意的$\xi\in V$，$B(\xi,\cdot):W\rightarrow \mathbb{C}$是连续线性泛函以及对于任意的$\eta\in V$，$B(\cdot,\eta):V\rightarrow \mathbb{C}$是连续线性泛函．

证明：$B$ 是连续的．

$9.$设 $X$ 是自反的 Banach 空间，$M$ 是 $X$ 中的有界闭凸集．

证明：对于任意的 $f\in X^\ast$，$f$ 在 $X$ 上达到最大值与最小值．

LECTURE NOTES OF WILLIAM CHEN

https://rutherglen.science.mq.edu.au/~maths/notes/wchen/ln.html

北京大学2016年直博考试试题

北京大学数学科学学院

2016年直博生摸底考试试题

1.证明题(30分,每小题15分)

(1) 若$f(x)$在实轴上可导且$f'(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有一个零点.

(2) 若$f(x)$处处二阶可导且$f''(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有两个零点.

2.(30分)假设$\phi(x,y,z)$是原点$O$某个邻域上$C^\infty$函数,且$\phi,\phi_x,\phi_y,\phi_{xz},\phi_{yz}$在$O$点为$0$, $\phi_{xx},\phi_{yy}$在$O$点为$1$, $\phi_{xy}(O)=\frac12,\phi_{z}(O)=-\frac12$. $\phi(x,y,z)=0$的隐函数记为$z=z(x,y)$(已知$z(0,0)=0$).请讨论$z=z(x,y)$在$(0,0)$点附近的极值问题.

3.(40分)设$z=z(x,y)$是题2中的隐函数, $\Omega_\delta$是$(0,0)$点的$\delta$邻域,当$\delta$充分小时,证明如下极限存在并求之\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t\iint_{{\Omega _\delta }} {{e^{ - tz\left( {x,y} \right)}}\,dxdy} .\]

4.(20分)设$A$是一个$2$阶复方阵.考虑$2$阶复方阵的线性空间$M_2(\mathbb C)$上的线性变换

\[\phi_A:M_2(\mathbb C)\to M_2(\mathbb C);X \mapsto AX-XA.\]试确定$\dim (\ker (\phi_A))$的所有可能的取值.

5.（30分）对于有理数域$\mathbb Q$上的两个$n$阶方阵

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1& \cdots &1\\0&0& \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &1\\0& \cdots &0&0\end{array}} \right),\quad \text{和}\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0& \cdots &0\\1&0& \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &0\\1& \cdots &1&0\end{array}} \right).\]

试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$,使得$A=T^{-1}BT$.

6.(20分) $\mathbb R[x]$中有多项式$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$.试用系数$a_1,a_2,a_3,a_4$的关系式,给出$f(x)$能表达成某个不可约二次多项式$g(x)$之平方的充分必要条件.

7.(30分)欧氏平面上保定向的等距变换群的一个子群$G$,其中每一个非恒同的变换$g$都没有不动点,而且每一个平面上的点$p$在群$G$作用下得到的轨道(即点集$\{g(p)|g\in G\}$)若平面上都没有聚点.试证明$G$可以由一个或两个平移变换生成,即$G=\{n\alpha|n\in\mathbb Z\}$或$G=\{n\alpha+m\beta|n,m\in\mathbb Z\}$,其中$\mathbb Z$为整数集, $n,m$为任意整数, $\alpha,\beta$为线性无关的平移向量(也表示其对应的平移变换). $n\alpha+m\beta$即对应线性组合所表示的平移.

T大2016年直博考试试题

数学试题专用纸

2016年4月

一、i)设$D$为$\mathbb{R}^n$上的一个区域$f:D\to \mathbb{R}^n$为连续可微映射.试叙述关于映射$f$的逆映射定理(包括条件和结论).

ii)试利用逆映射定理证明不存在从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^1$的连续可微的单射.

二、给定$\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$上的向量场

\[\overrightarrow v = \left( {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{y}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{z}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right).\]

记$\overrightarrow n$为$\mathbb{R}^3$中的单位球面$S^2$的单位外法向量场.试求积分

\[\int_{S^2}\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n d\sigma.\]

三、设定义在$\mathbb{R}$上周期为$2\pi$的函数$f$在区间$(-\pi,\pi]$上的取值为$f(x)=x$.

i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在$\mathbb R$上一致收敛.

ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数$\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$的和.

四、设$f(x)$在单位圆盘$|z|<1$上解析,满足$|f(z)|<1$,并且$f(\alpha)=0$,其中$|\alpha|<1$.

1.试证明当$|z|<1$时成立\[\left| {f\left( z \right)} \right| \le \left| {\frac{{z - \alpha }}{{1 - \overline \alpha z}}} \right|.\]

2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.

五、给定$A\in M_n(\mathbb C)$.令$f(x)$为其特征多项式, $g(x)\in \mathbb C [x]$是一个整除$f(x)$的$n-1$次多项式.求$g(A)$可能的秩,并说明理由.

六、设$V$是复数域上的$n$维线性空间, $\sigma$为$V$上的一幂幺变换(即:存在正整数$k$使得$\sigma^k=1_V$, $1_V$是$V$上的恒等变换).设$W$为$V$的$\sigma-$不变子空间.证明$V$中存在$\sigma-$不变子空间$W'$使得$V=W\oplus W'$.

数学试题专用纸

2016年4月

一、设定义在$D\subset \mathbb R$上的函数$f$在$x_0$处解析,即存在$\delta>0$使得可以将$f$在开区间$I=(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset D$上展开成$x-x_0$的幂级数.

1.试证明$f$在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$的任意点处解析;

2.若$f$在$I$上不恒等于零.试证明$f$在$I$中的零点是孤立的,即对任一$x_1\in I$,如果$f(x_1)=0$,则存在$x_1$的邻域$J=(x_1- \epsilon,x_1+\epsilon)\subset I$,使得$f$在$J$上只有$x_1$一个零点.

二、试求由椭球面$\frac{x^2}2+\frac{y^2}6+\frac{z^2}{27}=1$在第一象限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.

三、记$S$是球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧.试利用Stokes定理计算下列积分\[\int_S {\frac{{x\,dy \wedge dz + y\,dz \wedge dx + z\,dx \wedge dy}}{{{{\left( {2{x^2} + 3{y^2} + 6{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} .\]

四、设$D$是$\mathbb R^n$中的一个区域, $K$是$D$中的一个紧集. $f:D\to \mathbb{R}^n$连续可微,满足$f$在$K$上是单射,且$\det(f')$在$K$上恒不为零.求证:存在$D$中包含$K$的开集$U$以及$\mathbb{R}^n$中包含$f(K)$的开集$V$,使得$f:U\to V$是微分同胚,且其逆$f^{-1}$连续可微.

五、设$A,B$是数域$F$上$n$阶方阵,满足$AB-BA=aB,a\in F$,且$B$不是幂零矩阵.试证明$a=0$.

六、已知$X_1=(1,-2,1)^t,X_2=(-1,a,1)^t$分别是$3$阶不可逆实对称矩阵$A$的属于特征值$1,-1$的特征向量,试求$A$.

七、假设$V$为一有限维向量空间, $T:V\to V$为一可对角化的线性变换.又设$W\subset V$为$T$的一个不变线性子空间.试证明$T$在$W$上的限制也是可对角化的.

中科院研究生学费及奖助学金政策解读

研究生奖助学金设置

国科大研究生奖助学金的设置，包括国家助学金、国家奖学金、中科院奖学金、国科大学业奖学金、研究所奖学金、"助研/助教/助管"岗位津贴（简称"三助津贴"），共计六个类别。

"国家助学金"，按照国家财政拨款统一标准实行。现行资助标准为，博士生12000元/年•生, 硕士生6000元/年•生，覆盖100%研究生。将由国科大统一发放到国科大专属建行卡中，硕士每月500，博士每月1000。

"国家奖学金"，按照当年国家财政拨款额度及要求实施。现行标准为：博士生3万元/生、硕士生2万元/生，覆盖约2-3%研究生，每年9-10月开展评选工作。需要申请

"中科院奖学金"，是指中国科学院设立的各类优秀奖学金。按照院设立及冠名联合设立的相关意愿和要求，由院教育主管部门、国科大及中科院研究生教育基金会统筹安排，按年度通知各研究所进行申报，并组织评选发放。需要申请

"国科大学业奖学金"，由国科大统筹国家财政拨款和学费收入设立，面向按统一规定缴纳学费的全日制研究生。具体由国科大按照博士生13000元/年•生、硕士生8000元/年•生的标准以及100%缴纳学费研究生规模，核定当年各研究所"国科大学业奖学金"总额；各研究所每年9-10月开展评选工作。只要交学费或者缓交学费的都会全额一次性返还，硕士正好抵消学费，博士还有多余的3000，具体方案由研究所制定。

"研究所奖学金"，是指由研究所自行设立的各类优秀奖学金。由研究所筹措经费、制定规则、组织评审、安排发放。应该是每个人都有，金额从几百到上千都有

"三助津贴"，是指由学校职能部门、研究所、实验室、导师等根据工作需要，设置的"助研/助教/助管"岗位及相应津贴。按照岗位职责贡献与津贴待遇相对应的原则，由设岗部门负责筹措经费、设立岗位、确定职责、履行考核、安排发放。导师发放的钱就在这部分，属于助研津贴，标准各所自行制定，金额从几百到几千都有。