作为跨考过来的一员，也在中科院数学系统院这边呆了一段时间，借着硕转博考试前的一些闲暇时间，再写一篇考研鸡汤。

首先是你得选好报考单位，中国科学院大学（简称国科大）这边有三个数学的机构，包括中国科学院数学与系统科学研究院（也就是我所说的中科院数学系统院，在中关村校区），中国科学院大学数学科学学院（指本部，在玉泉路校区），中科院武汉物理与数学研究所（显然在武汉），关于这几个机构有啥研究方向和导师名单，请有心人自行百度官网查询。另外，这几个机构的数学学生研一都在雁栖湖校区（基础数学研一都在玉泉路校区）进行集中教学，研二才回各自的研究所。

下面我具体介绍下数学系统院这边的情况，这边有四个研究所，分别为数学研究所（数学所），应用数学研究所（应用所），计算数学研究所（计算所），系统科学研究所（系统所）。我就在这个系统所，此所很迷，包括了我们实验室的系统理论和控制论方向，也有统计学，计算机科学，管理科学，金融学等方向。除此之外，吴文俊老先生的数学机械化中心也在我们所，没想到吧，关于这个所，我了解的是他们得学很多代数课程，所以一般也归到基础数学的行列。

如果你很希望加入我们院，成为Xionger的师弟师妹。请大家把握住下面几次机会。第一次，便是数学夏令营，一般在7月底放暑假前的几天吧，这个数学系统院官网会贴通知进行报名。夏令营期间有竞赛考试选拔出前几名，考试内容为数分高代，我微信公众号有这几年的真题。考试没通过的同学会让你进行招生考试或者考研。

第二次，数学系统院会派一些老师去部分985高校进行招生考试，比如说东南大学，厦门大学，中山大学，吉林大学，北京科技大学等等。这个招生考试一般来说是数院院长，副院长那边通知的吧，不会挂到网上，所以如果你是别的学校的，请尽早打探好情报，并问清楚你是否也能参加考试。笔试完还有面试，中科院的面试相对而言还是比较轻松，这边的老师普遍和蔼可亲，以人为本。希望同学们尽可能实事求是，充分发挥出自己的真实水平。

最后一次机会便是考研，虽然说考数分高代，但是高代题稍微难点，数分还可以。由于报考人数多，考研相对而言难度大点，这对跨专业考研的同学来说是福音。另外我也推荐跨考的同学，尽可能报考系统所的有关方向，这是经验也是真相。系统所相对而言比较欢迎跨考的学生，在这里也不是水数学，很多方向研究起来都得用大量的数学，甚至是一些前沿而热门的工具，希望大家不要有所偏见。比如我们控制论方向的，可以参考郭雷老师写的书《控制理论导论》。另外，这边的管理科学，统计学，应用统计，金融学貌似也用大量数学知识，希望经管专业的同学读研前有所准备。

如果你铁了心读基础数学，做黎曼猜测，那中科院是一个很好的选择。请你务必好好学习基础课程，打好数学功底，尽量拿到保研名额，参加各类数学竞赛提高软实力。重要的事情说三遍，尽量保研，保研，保研！

最后说一句，我之所以这么古道热肠，也是因为经历过一些难得的经历，希望大家好好珍惜。情报再多，也比不了你自己去实践，也比不上你的真才实学。但行好事，莫问前程；你若盛开，清风自来！祝好！

记国科大一些给力的老师们.

张三国老师在高等数理统计课上说：好，已经走了48个人，我们的目标是再走48个人。同学们戏称为：被三国作业支配的恐惧，三国杀，不是英雄，不读三国。

假设$\displaystyle x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}(n=1,2,\cdots )$,证明:当$x\rightarrow \infty $时, $\displaystyle x_n-\frac{\pi }{2}=o\left(\frac{1}{n^n}\right)$.

证.先证$1\leq x_n<\frac\pi /2$,得到$x_n-x_{n-1}>0$,由单调有界定理可知$x_n$极限存在且$\lim_{n\to\infty}=\frac\pi2$.下面用归纳法证明$\lim_{n\rightarrow\infty}n^n\left(x_n-\frac{\pi}{2}\right)=0$.假设

空间中四点$O,A,B,C$使得\[\angle AOB=\frac{\pi}{2},\angle BOC=\frac{\pi}{3},\angle COA=\frac{\pi}{4}\]
设$AOB$决定的平面为$\pi_1$,$BOC$决定的平面为$\pi_2$,求$\pi_1,\pi_2$二面角.求出二面角的余弦值即可.

解.

中国科学院数学与系统科学研究院

2016 年大学生数学夏令营考试试卷

考生须知：

1. 本试卷满分为100 分，全部考试时间总计120 分钟。

2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1.(10分)确定矩阵分别为

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&0&{ - 1}\\3&{ - 1}&3\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&0\\3&1&1\\0&1&5\end{array}} \right) \text{的二次型在下列域上是否等价：}\]

(a)实数域.(b)有理数域?

2.(10分)设$W_1,W_2$是$V$的子空间,如果$W_1\cup W_2=V$.证明：或者$V=W_1$,或者$V=W_2$.

3.(15分)设$V$是$n$维实向量空间, $\varphi:V\to V$是线性映射.

$\chi_\varphi(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n),(\lambda_i\in \mathbb C)$是$\varphi$的特征多项式.

试证明：或者$\lambda_i\in \mathbb R(1\leq i\leq n)$,或者$V$有一个$2$维不变子空间$W\subset V$,使$\varphi|_W$的特征多项式不可约.

4.(15分) 设$(V,<,>)$是$n$维欧氏空间, $V^\ast$表示由所有线性函数$V\to \mathbb R$组成的对偶空间.试证明:

（1）映射$V\to V^\ast,v\mapsto<\cdot,v>$是线性同构.

（2）对任意线性映射$f:V\to V$.验证映射\[f^\ast:V^\ast\to V^\ast.f^\ast(\ell)=\ell\cdot f\]是对偶空间的线性映射.

（3）对任意线性映射$\varphi:V\to V$,存在唯一线性映射$\varphi^\ast: V\to V$满足:$<\varphi(x),y>=<x,\varphi^\ast(y)>,\forall x,y\in V$.

5.(10分) 证明：当$x\to 1^-$时,\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{n^2}}}} \sim \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{1 - x}}} .\]

证明：由Lagrange中值定理可知\[{x^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < \int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt}  = {x^{{\xi ^2}}} < {x^{{n^2}}},\quad \xi  \in \left( {n,n + 1} \right).\]

因此\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} }  < \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{n^2}}}} \]且\[\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{n^2}}}}  = 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  < 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} }  = 1 + \int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt} ,\]

即\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  < \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{n^2}}}}  < 1 + \int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt} .\]

而\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  = \int_0^\infty  {{e^{{t^2}\ln x}}dt}  = \frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }}\int_0^\infty  {{e^{ - {u^2}}}du}  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2}\frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }}.\]

注意到\[\ln t \sim \frac{{t - 1}}{t},\quad t \to {1^ + }\]

我们有\[\ln \frac{1}{x} \sim 1 - x,\quad x \to {1^ - }\]

因此\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2}\frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }} \sim \frac{{\sqrt \pi  }}{2}\frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{1 - x}}} .\]

6.(10分) 证明：圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小.

证明：不妨假设此圆是单位圆,其外切三角形周长为$2p=a+b+c$.由海伦公式可知$$S=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$故$$2p=a+b+c=2(p-a)(p-b)(p-c)\leqslant \frac{2}{27}p^3.$$因此$$S=p\geqslant\sqrt{27},$$当且仅当$a=b=c$时取等成立.

7.(15分)设$\varphi(x)$表示实数$x$与其最近整数间之差的绝对值.令\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\varphi(4^k x)}{4^k}.\]证明：

（1）(5分). $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上处处连续;

（2）(10分). $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上处处不可微.

8.(15分)设$f(x)\in C[0,+\infty)$,且对任何非负实数$a$,有\[\lim_{x\to\infty}(f(x+a)-f(x))=0.\]证明：存在$g(x)\in C[0,+\infty)$和$h(x)\in C^1[0,+\infty)$,使得: $f(x)=g(x)+h(x)$,且满足\[\lim_{x\to\infty}g(x)=0,\lim_{x\to\infty}h'(x)=0.\]

1 浙大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(甲卷)

 满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)求\[\int_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - ax}} - {e^{ - bx}}}}{x}dx} \quad \left( {b > a} \right).\]

2. (15分) $\sum_{i=1}^n a_n$发散, $a_n$为正项级数.求证:

(1) $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_n}{S_n}$发散;

(2) $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{S_n}$发散.

3. (15分) 求

\[\int\limits_{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}} {\frac{{dS}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - h} \right)}^2}} }}} .\]

4. (15分) 设$A:V\to V$,\[{H_{A,\alpha }}\left( t \right) = \left\{ {\varphi \left( t \right)\left| {\varphi \left( x \right) \in Q\left[ t \right],\varphi \left( x \right) \cdot \alpha = 0} \right.} \right\}\]中次数最小的一个.证: $\exists \alpha \in V$,使${H_{A,\alpha }}\left( t \right)$为$A$的极小多项式.

1.1 某同学面试问题

1. 求\[\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {x^6}} \right)}}dx} .\]

2. 举一个无穷次可导却不解析的函数.

2 湖南大学考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(乙卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)

(1) 求极限$\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right)$;

(2) 设$f(x)$满足$f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x}$,求$f(x)$的导数;

(3) 求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}$.

2. (15分)设$r\geq 0$,求积分\[\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .\]

3. (10分)设$0<\mu <1,a>0$, $M_n$是$e^{-(x+ax^\mu )x^n}$在$(0,+\infty)$上的最大值.求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.\]

4. (10分)设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上二次连续可微,并且$f(a)=f(b)=0$.证明不等式:

\[{M^2} \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{2}\int_a^b {{{\left| {f''\left( x \right)} \right|}^2}dx} ,\]其中$M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|$.

5. (10分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}}$,求以下矩阵的特征根:

\[A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.\]

注:对$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right)$,张量积定义为$A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right)$.

6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式$\det X$是二次型,写出其对应的双线性型.

\[M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.\]

7. (20分)设可逆矩阵$A\in M_n(\mathbb C)$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.求线性变换

\[M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C),\quad X\mapsto AXA'\]

的全部特征值.

注：$M_n(\mathbb C)$表示定义在复数域$\mathbb C$上的$n$阶方阵.

3 西安交大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(乙卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)

(1) 求极限$\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right)$;

(2) 设$f(x)$满足$f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x}$,求$f(x)$的导数;

(3) 设$f:[0,1]\to R$连续,求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {\frac{{{x_1} \cdots {x_n}}}{n}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} $.

解法一.设$|f|$最大值为$M$.对任何$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得当$|x-1/2|<\delta$时,有$$\left|f(x)-f(\frac{1}{2})\right|<\varepsilon.$$

\begin{align*}&\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq &\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\+&\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|<\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq&2M\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{[0,1]^n}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\=&\frac{M}{6n\delta^2}+\varepsilon.\end{align*}

因此$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\leq \varepsilon.$$

令$\varepsilon\rightarrow0$即可.

解法二.由科尔莫格罗夫强大数定律得$$\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}\mathop \to \limits^{a.s.} E\left( {{X_i}} \right) = \frac{1}{2}\left( {n \to + \infty } \right).$$

又因为$f(x)$连续有界,由控制收敛定理可知

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E\left( {f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).$$

2. (15分)设$r\geq 0$,求积分\[\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .\]

3. (20分)设$0<\mu <1,a>0$, $M_n$是$e^{-(x+ax^\mu )x^n}$在$(0,+\infty)$上的最大值.求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.\]

4. (10分)设$m$为正整数,方程$a\equiv b \mod m$定义为$m$能整除$a-b$.当$m$取何值时,以下线性方程组有整数解?

\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z \equiv 1\left( {\bmod m} \right),\\2x - 3y + z \equiv 4\left( {\bmod m} \right),\\4x + y - z \equiv 9\left( {\bmod m} \right).\end{array} \right.\]

5. (10分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}}$,求以下矩阵的特征根: \[A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.\]

注:对$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right)$,张量积定义为$A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right)$.

6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式$\det X$是二次型,写出其对应的双线性型.

\[M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.\]

7. (20分)设$\Omega$为含有$n$个元素的有限集合, $2^\Omega$为$\Omega$的幂集(即$\Omega$的所有子集构成的集合).对任意$A,B\in 2^\Omega$,定义数乘$0A=\emptyset$(空集), $1A=A$,加法$A+B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$(对称差).

(1) 证明$2^\Omega$关于以上数乘及加法为域$Z_2=\{0,1\}$ (注意在此域上$1+1=0$)上的线性空间,求其维数.

(2) 求$2^\Omega$的一维子空间个数.

(3) 取定非空$X\in 2^\Omega$,定义线性算子$T_X:2^\Omega\mapsto 2^\Omega$为$T_X A=A\cap X,A\in 2^\Omega$.求$T_X$的极小多项式,特征多项式,特征值和相应的特征子空间.

4 吉大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(丙卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)计算

(1) 求极限$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \frac{{{1^{\alpha - 1}} + \cdots + {n^{\alpha - 1}}}}{{{n^\alpha }}} \quad {\alpha > 0} $.

(2) 已知$f'(a)$存在,$f(a)\neq0$,求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } {\left( {\frac{{f\left( {a + \frac{1}{n}} \right)}}{{f\left( a \right)}}} \right)^n}$.

(3) 设$f:[0,1]\to \mathbb R$连续,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {{{\left( {{x_1} \cdots {x_n}} \right)}^{1/n}}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} .\]

2. (15分)设$\phi (x)>0,f(x)>0$都是$[a,b]$上连续函数,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.\]

3. (20分)证明$\binom n1 - \frac{1}{2}\binom n2 + \frac{1}{3} \binom n3 - \cdots + (-1)^{n-1}\frac1n\binom nn = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$.

4. (10分)设$x,y$都是复数域上$n$阶方阵,定义$x^{(0)}=x,x^{(1)}=[x,y]\equiv xy-yx,x^{(j)}=[x^{(j-1)},y]$.证明

\[\sum\limits_{i = 0}^k {{y^i}x{y^{k - i}}} = \sum\limits_{j = 0}^k {\binom{k + 1}{j + 1} {y^{k - j}}{x^{\left( j \right)}}} .\]

5. (10分)给出平面中以下三条不同直线相交于一点的条件

\[ax+by+c=0,\quad bx+cy+a=0,\quad cx+ay+b=0.\]

求以下矩阵能对角化的条件:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\a&b&c\end{array}} \right).\]

6. (10分) 给出$M_2(\mathbb C)$中幂零矩阵所张成的线性空间的一组基.描述$M_n(\mathbb C)$中幂零矩阵所张成的线性空间.

7. (20分)证明$\cos x$是超越函数.

注：函数$f(x)$称为超越函数,如果不存在有限多个不全为零的$a_{pq},p,q=0,1,2,\cdots$,使得

\[\sum\limits_{p,q}a_{pq} x^p (f(x))^q=0,\quad \forall x\in \mathbb R.\]

5 大连理工考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(丁卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)计算

(1) 求${\sqrt 2 ^{{{\sqrt 2 }^{{{\sqrt 2 }^ \cdots }}}}}$;

(2) 求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}$;

(3) 求不定积分$\int {\frac{{x\ln x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}$.

2. (15分)设$\phi (x)>0,f(x)>0$都是$[a,b]$上连续函数,求

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{n + 1}}dx} }}{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.\]

3. (20分) 设$f(x)$为$[a,b]$上可微函数, $f(a)=f(b)=0$,但$f(x)$不恒等于零,则存在$\xi\in (a,b)$使得

\[\left| {f'\left( \xi \right)} \right| > \frac{4}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} .\]

4. (10分)设$m$为正整数,方程$a\equiv b \mod m$定义为$m$能整除$a-b$.当$m$取何值时,以下线性方程组有整数解?

\[\left\{ \begin{array}{l}x \equiv 1\left( {\bmod \,2} \right),\\x \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right),\\x\equiv 4\left( {\bmod \,5} \right).\end{array} \right.\]

5. (10分)证明代数数集合为可数集.

注：一个数称为代数数,如果它是某个系数为有理数的多项式的根.

6. (10分)设$n\geq2$,矩阵$A=(a_{ij})\in M_{n\times n}(\mathbb Z)$的每个元素要么是$-3$,要么是$4$,即$a_{ij}\in \{-3,4\}$. (1)设$S$是所有这些矩阵的和,求$S$及其秩$\mathrm{rank}\, S$; (2)证明行列式$|A^2|$是$7^{2n-2}$的倍数,即$7^{2n-2} |\, |A^2|$.

7. (20分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{array}} \right)\in M_{3\times 3}(\mathbb C)$,多项式$p(x)\in \mathbb C[x]$.

(1)证明: $p\left( A \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}&{p''\left( a \right)/2}\\0&{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}\\0&0&{p\left( a \right)}\end{array}} \right)$. \quad (2)求$e^A$.

6 中科大考题

证明$AB$和$BA$有相同的特征多项式.

7 山大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(X卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)计算

(1) 求$\mathop {\lim }_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \tan x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}}$;

(2) 求$f(x)=x^{x^x}$的导数;

(3) 求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {\frac{{x_1^2 + x_1^2 + \cdots + x_n^2}}{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}d{x_1}d{x_2}d{x_n}} .\]

2. (15分)已知$f\left( x \right) = \prod_{i = 1}^k {\left( {x - {a_i}} \right)} $,且\[ - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = {c_0} + {c_1}x + {c_2}{x^2} + \cdots + {c_n}{x^n} + \cdots ,\]求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c_n}}}{{{c_{n - 1}}}}$和$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{c_n}}}$.

3. (20分) $a,b$为实数, $x^3+abx+b$在复数域上有重根,则$a,b$应满足什么条件?

4. (10分)求\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{i\theta }}}&{2i\sin \alpha }\\0&{{e^{i\theta }}}\end{array}} \right)^n}.\]

8 厦大考题

1. $A,B$特征值不同, $f_A,f_B$为其特征多项式.

(1) 存在$g(\lambda),h(\lambda)$使得\[g(B)f_A(B)=I,h(A)g_B(A)=I.\]

(2) $AX-XB=0$只有零解;

(3) $AX-XB=C$有唯一解.

2. 设$f(x)=\frac1{1-x-x^2}$,证明$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{f^{(n)}(0)}$收敛,其中$f^{(n)}(0)$表示$f(x)$在$0$点的$n$阶导数.

武汉大学2016年基础数学复试笔试试题

编辑整理：曹匹诺，Eufisky(Xiongge)

1.设$f(x)$在$(a,b)$上可微,且$f(x)$在$a$点右连续,试证:

(1) 若导函数$f'(x)$的右函数极限存在且为$A$,证明导函数$f'(x)$在$a$点的右侧存在且\[{{f'}_ + }\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f'\left( x \right) = A.\]

(2) $f'(x)$在$(a,b)$上不存在第一类间断点.

2.若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛,证明级数\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{\sqrt {{r_{n - 1}}} + \sqrt {{r_n}} }}} \]收敛,其中${r_n} = \sum_{k = n + 1}^\infty {{a_k}}$.

3.讨论$\lambda$取何值时, $y''+\lambda y=0$有非零的初值解,其中$y(0)=y(1)=0$.

4.$A$为正定矩阵, $A-B$为半正定矩阵,试证明:

(1) 方程$|\lambda B-A|=0$关于根$\lambda\geq1$;

(2) $|B|\leq |A|$.

5.讨论积分$\int_0^1 x^{p-1}\ln^2 xdx$在下列情况下的一致收敛性.

(1) $p\geq p_0>0$;

(2) $p>0$..

6. 设非负函数$f(x,y)$在区域$D$上可积,证明积分$\iint\limits_D f(x,y)dx=0$充分必要条件为$f(x,y)$在$D$上的连续点上等于$0$.

武汉大学2015年基础数学复试笔试试题

1.导函数极限定理, $f'(0)$存在, 而$\lim_{x\to0} f'(x)$不存在的例子.

事实上,可以考察

\[f\left( x \right) = \begin{cases}{x^2}\sin \frac{1}{x}, &x \ne 0\\0, &x = 0\end{cases}.\]

2.$\{a_n\}$是正项数列且单增.证明: $\sum_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} - 1} \right)}$收敛$\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$有界.

3.设$A$是$n$阶可逆复方阵，证明存在分解

\[A=UT,\]

其中$U$是酉矩阵，$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵，并证明这种分解的唯一性。

4.讨论微分方程过点y=0的解的存在性和唯一性，其中$\alpha>0$.

\[\frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha}.\]

5.证明含参变量积分

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy\]

关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛，在$0<x<+\infty$上非一致收敛。

6.利用数学归纳法证明$n$维空间中的$n+1$面体${B_{n + 1}}:\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i}} \right)}^{1/\alpha }}} \le 1,\alpha > 0$的体积为\[V = \frac{{{2^n}{\alpha ^{n - 1}}{{\left[ {\Gamma \left( \alpha \right)} \right]}^{n - 1}}\Gamma \left( {\alpha + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {\alpha n + 1} \right)}},\]

其中$\Gamma$为伽马函数.

试题来自陈洪葛的博客.

问题1.（10分）函数$f(x)$在$(-1,1)$上连续，除了$0$这一点外可导。

1. 若$f(x)$的导函数当$x\to 0$时极限存在，证明$f(x)$在$0$点的导数存在。
2. 上述命题的逆命题是否成立？就是说$f(x)$在$0$点的导数存在是不是一定有$f(x)$在$x\to 0$的极限存在？成立请证明，否则给出反例。

问题2（10分）证明函数$f(x)$在$(a,b)$上一致连续的充分必要条件是对$(a,b)$上的收敛数列$\{x_{n}\}$,数列$\{f(x_{n})\}$也收敛。

问题3（10分）

证明含参变量积分

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy\]

关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛，在$0<x<+\infty$上非一致收敛。

问题4（10分）设$X$是带有度量空间上的紧集，$E\subset X,\varphi(x)$是$E$上的变换，且满足

\[d(\varphi(x),\varphi(y))<d(x,y) \qquad (x\neq y,x,y\in E).\]

证明$\varphi(x)$在E中存在唯一的不动点。

问题5（10分）(Tauber定理)

设在$-1<x<1$上有

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\]

并且

\[\lim_{n\to\infty}na_{n}=0.\]

若$\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=S$,则$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$收敛且其和为$S$.

问题6 （15分）

讨论微分方程过点y=0的解的存在性和唯一性，其中$\alpha>0$.

\[\frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha}.\]

问题7 （15分）设$A$是$n$阶可逆复方阵，证明存在分解

\[A=UT,\]

其中$U$是酉矩阵，$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵，并证明这种分解的唯一性。

问题8 （20分）

已知$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) \in \mathbb{C}^{2\times 2}$,定义$\mathbb{C}^{2\times 2}$的变换$f:f(X)=XA,\forall X\in \mathbb{C}^{2\times 2}$.

1. 证明$f$是$\mathbb{C}^{2\times 2}$的线性变换;

2. 求$f$在$\mathbb{C}^{2\times 2}$的基

   \[{E_{11}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right),{E_{12}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right),{E_{21}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right),{E_{22}}= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&1\end{array}} \right)\]

   下的矩阵$M$.

3. 给出$\mathbb{C}^{2\times 2}$的两个非零的$f$不变子空间$V_1$和$V_2$,使得$\mathbb{C}^{2\times 2}=V_1\oplus V_2$,请阐述理由.
4. 证明:存在$\mathbb{C}^{2\times 2}$的一个基,使得$f$在这一基下的矩阵为对角矩阵当且仅当矩阵$A$与对角矩阵相似.