Eufisky - The lost book

中国科大第七届大学生数学夏令营

数学分析试卷

考生姓名所在学校得分

一、(15分)

1.试用 $\varepsilon-\delta$ 语言证明: $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac1{x^2}=0$ ;

2.设函数

$f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac1{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0);\\0,&(x,y)= (0,0).\end{cases}$

试求 $f'_x(0,0)$ 和 $f'_y(0,0)$ .

二、(30分)

1.求函数 $f(x)=x^2e^x$ 的 $10$ 阶导数 $f^{(10)}(x)$ ;

2.将函数 $f(x)=\ln (1+\sin x)$ 在 $x=0$ 处Taylor展开到 $3$ 阶,带Peano余项;

3.求 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$ ;

4.求 $\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$ .

三、(30分)

1.求平面曲线 $\displaystyle x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$ 的长度;

2.设 $a,b>0$ ,求平面曲线段 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\, (a\leq x\leq a+b)$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积;

3.求 $\displaystyle\int_\Sigma x^3d\sigma$ ,其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2,R>0$ , $d\sigma$ 是曲面的面积元;

4.设 $\mathbb{R}^3$ 中曲线 $\Gamma$ 是曲面 $f(x,y,z)=0$ 和曲面 $g(x,y,z)=0$ 的交线,且变量 $x$ 可以作为它的一个参数,求曲线 $\Gamma$ 的切向量.

四、(15分)

1.设函数 $f(x)=\arcsin (\cos x)$ ,将 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上展开成Fourier级数,并讨论此Fourier级数的收敛性;

2.求向量场 $\vec{V}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ 在曲面 $S$ 上的第二型曲面积分,这里设曲面 $\displaystyle S:\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}$ ,正向为外法向.

五、(15分)

设 $(a,b)$ 是有界开区间, $f(x)$ 是定义在 $(a,b)$ 上的一致连续函数.证明 $f(a^+)$ 和 $f(b^-)$ 存在有限;并举例说明当 $b=+\infty$ 时上述结论不成立.

六、(15分)

设定义在有界闭区间 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f''(x)>0$ ,且 $f(a)>0,f(b)<0$ .

1、证明存在唯一的 $c\in (a,b),f(c)=0$ ;

2、设 $x_0\in (a,b),f(x_0)>0$ ,定义数列 $\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}(n=0,1,2,\ldots)$ .证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=c$ .

七、(15分)

设 $f(x)$ 是闭区间 $[0,1]$ 上的Riemann可积函数, $\lambda>0$ 是定数.定义 $D_\lambda (f)=\{x\in [0,1] |\,\omega_f(x)\geq\lambda\}$ ,其中 $\omega_f(x)$ 为函数 $f$ 在点 $x$ 的振幅.证明:对任意 $\varepsilon>0$ ,存在有限个开区间 $I_1,I_2.\ldots,I_m$ 满足

(1) $\displaystyle D_\lambda (f)\subset \bigcup_{k=1}^m I_k$ ;

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^m |I_k|<\varepsilon$ ,这里 $|I_k|$ 是区间 $I_k$ 的长度.

八、(15分)

设平面区域 $D=\left\{(x,y)|\, x^2+y^2\leq 1\right\}$ ,函数 $f(x,y)\in C^3(D)$ 且 $f(0,0)=0$ .

1.试证明:存在 $\phi (x,y),\psi (x,y)\in C^2 (D)$ 满足

$f(x,y)=x\phi (x,y)+y\psi (x,y);$

2.若 $\nabla f(0,0)=0$ ,试证明:存在 $a(x,y),b(x,y),c(x,y)\in C^1(D)$ 满足 $f(x,y)=x^2a (x,y)+2xyb(x,y)+y^2 c(x,y);$

3.设 $\nabla f(0,0)=0$ 且 $f(x,y)$ 的Hessian矩阵在 $(0,0)$ 点正定.试证明:在原点附近存在参数变换 $(u,v)\to (x,y)=\Phi (u,v),\Phi (0,0)=(0,0)$ ,使得 $f(u,v)=f\circ \Phi (u,v)=u^2+v^2.$

中国科学技术大学2017大学生数学夏令营

线性代数与解析几何

说明：考试时间180分钟，试卷满分150.

一、填空题(每空5分，共40分，结果须化简)

1.设四面体 $ABCD$ 的四个顶点坐标分别为 $A(1,2,3),B(-1,0,2),C(2,4,5),D(0,-3,4)$ ,则 $ABCD$ 的体积为 .

2.椭圆 $x^2-xy+y^2-x=1$ 长半轴的长度为 .

3.直线 $l:x-1=y=z$ 绕 $z$ 轴旋转所得旋转面的方程为 .

4.设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是三次方程 $x^3+2x^2+4x-1=0$ 的三个根,则行列式$\left| \begin{matrix}\alpha _1& \alpha _2& \alpha _3\\\alpha _2& \alpha _3& \alpha _1\\\alpha _3& \alpha _1& \alpha_2\\\end{matrix} \right|=$ .

5.设矩阵$A=\left( \begin{matrix}1&\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&1\\\end{matrix} \right) $,则$ A^{2017}=$ .

6.设 $\mathbb{R}^4$ 中向量组 $\alpha_1=(1,2,-1,2),\alpha_2=(a,-4,1,0),\alpha_3=(2,-1,0,1)$ 的秩为 $2$ ,则 $a=$ .

7.设 $\mathbb{R}^3$ 中线性变换 $\mathcal{A}$ 将向量 $\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(0,0,1)$ 分别映射为向量 $\beta_1=(-1,1,6),\beta_2=(-1,1,2),\beta_3=(0,-1,2)$ ,则 $\mathcal{A}$ 在标准基 $\mathbf{e_1}=(1,0,0),\mathbf{e_2}=(0,1,0),\mathbf{e_3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 .