国科大硕转博公共基础课考试试题
2016年9月17日，国科大举行硕转博公共基础课考试，试题分三个方向，考试满90分才算合格！
数学：三选二（公共基础部分）
分析
一、 求\[I=\int_0^{2\pi} \frac1{a+\cos\theta}d \theta,\quad a>1.\]
二、 设复变函数$f(z)$为整函数,且存在正整数$n$以及常数$R>0,M>0$,使得当$|z|>R$时,有$|f(z)|\leq M|z|^n$.试证明: $f(z)$是一个至多$n$次的多项式或一常数.
三、 陈述Lebesgue控制收敛定理并证明\[\lim_{n\to+\infty}\int_0^\infty\frac{\ln (x+n)}ne^{-x}\cos xd x=0.\]
四、 陈述开映射定理并证明:设$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是线性空间$X$上的两种范数,且使得$(X,\|\cdot\|_1)$和$(X,\|\cdot\|_2)$都是完备的.若存在常数$a>0$使得对任意$x\in X$,有$\|x\|_2\leq a\|x\|_1$,则一定存在常数$b>0$,使得对任意$x\in X$,有$\|x\|_1\leq b\|x\|_2$.
代数
一、 设$a$和$b$是群$G$的元素,阶数分别为$m$和$n$, $(m,n)=1$且$ab=ba$.证明$ab$的阶为$mn$.
二、 设$S_n$是$\{1,2,\cdots,n\}$上的$n$次对称群.证明:
1) $S=\{\sigma|\sigma\in S_n,\sigma (1)=1\}$是$S_n$的子群;
2) $\{(1),(1,2),(1,3),\cdots,(1,n)\}$组成$S$在$S_n$中的一个左陪集代表元素.
三、 设群$G$作用在集合$X$上.记$n$为$X$在$G$作用下的轨道个数,对任意$a\in X$,记$\Omega_a=\{ga|g\in G\}$是$a$所在的轨道, $Ga=\{g\in G|ga=a\}$为$a$的固定子群.对任意$g\in G$,记$f(g)$为$X$在$g$作用下的不动点个数.证明:
1) $b\in\Omega_a\Leftrightarrow \Omega_a=\Omega_b$;
2) 对任意$g\in G$,有$G_{ga}=gG_ag^{-1}$;
3) $\sum_{g\in G}f(g)=n|G|$.
四、 设$R,S$是环, $f:R\to S$是环的同态.证明同态核$\ker f$是环$R$的理想,并且映射
\begin{align*}F:R/\ker f&\to S\\\overline r&\mapsto f(r)\end{align*}
是环的单同态,特别地: $F:R/\ker f\to \mathrm{Im} f$是环的同构.
五、 证明多项式$x^2+x+1$与$x^3+x+1$在$\mathbb{Z}_2$上不可约,并求出有限域$\mathbb{Z}_2$上的全部三次不可约多项式.
几何拓扑
一、 在实数集$\mathbb{R}$上定义一个拓扑,使其包含$(0,2)$与$(1,3)$,且包含尽可能少的开集.
二、 设$X$是一个拓扑空间, $A$与$B$是$X$的子集, $\overline A$与$\overline B$分别为$A$与$B$的闭包.证明若$A\subset B$,则$\overline A\subset \overline B$.
三、 设$\{X_n\}$是具有标准拓扑的实数集$\mathbb{R}$中的数列,其中$x_n=\frac{(-1)^n}n$.
1) 证明每个含$0$的邻域都包含某个开区间$(-a,a)$;
2) 对任意的$a>0$,存在$N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n\geq N$时,有$x_n\in (-a,a)$.
四、 求$E^3$中曲线$r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$的曲率和挠率,其中$a$和$b$是不为$0$的常数.
五、求$E^3$中曲面$r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$的高斯曲率和平均曲率.
系统科学、控制论（公共基础部分）
一、（50分）简述以下概念和原理：
(1) 对偶原理；
(2) 分离性原理；
(3) 最小实现；
(4) 平衡点；
(5) 渐进稳定性。
二、（20分）判断下述系统是否能控：
\[\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1&0&0\\0&{ - 1}&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\{ - 1}\end{array}} \right]u.\]
三、（20分）判断下述系统是否能观测：
\[\left\{ \begin{array}{l}\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\{ - 2}&{ - 4}&{ - 3}\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]u,\\y = cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&4&2\end{array}} \right]x.\end{array} \right.\]
四、（20分）判断下述系统的稳定性：
\[\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2},\\{{\dot x}_2} = - {x_1}.\end{array} \right.\]
五、（20分）证明线性系统能观测性在输出反馈下保持不变。
六、（20分）设开区域$D$满足$0\in D\subset \mathbb{R}^n$。考虑系统$$\dot x=f(x),$$其中$f:D\to \mathbb{R}^n$是局部李普希兹函数，并且$f(0)=0$。如果存在连续可微函数$V:D\to \mathbb{R}$满足
(i) 当$x\in D-\{0\}$时$V(x)>0$，且$V(0)=0$,
(ii) $\dot V(x)\leq 0,x\in D$,
证明$x=0$稳定。
统计学（公共基础部分）
一、（15分）数列$\{a_n\}$满足关系式$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},a_1>0$.求证$\lim_{n\to\infty} n(a_n-n)$存在.
二、（15分）设$f(x)$在$(a,b)$内二次可导,且存在常数$\alpha,\beta$,使得对于$\forall x\in (a,b)$
$$f'(x)=\alpha f(x)+\beta f''(x),$$则$f(x)$在$(a,b)$内无穷次可导.
三、（15分）求幂级数$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1)^n$的收敛域与和函数.
四、（15分）设$f(x)$是$\mathbb{R}$上有下界或者有上界的连续函数且存在正数$a$使得$$f(x)+a\int_{x-1}^x f(t) dt$$为常数.求证: $f(x)$必为常数.
五、（15分）设$f(x,y)$在$x^2+y^2\leq 1$上有连续的二阶偏导数, $f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2\leq M$.若$f(0,0)=0,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$,证明$$\left |\iint_{x^2+y^2\leq 1}f(x,y)dxdy\right |\leq \frac{\pi\sqrt{M}}4. $$
六、（15分）已知\[A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right),\]求$A^{2016}$.
七、（15分）已知\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right),\]而$A^n=\alpha_nI+\beta_n A$.求$\alpha_n,\beta_n$.
八、 （15分）在$\mathbb{R}^4$中,$$\alpha=(1,1,-1,1),\beta=(1,-1,1,1),\gamma=(1,0,1,1),M=(\alpha,\beta,\gamma),$$求$M^\bot$的一组标准正交基.（数据忘记了）
九、（15分）已知线性空间$M=\{(x,y)|x-2y+z=0\}$,求$u=(1,2,3)'$在$M$上的正交投影.
十、 （15分）设$u,v\in \mathbb{R}^n$,若$u'u=v'v$,证明存在$n$阶正交矩阵$Q$,使得$Qu=v,Qv=u$.
中国科学技术大学2016年秋季博士资格考试试卷
中国科学技术大学
2016年秋季博士资格考试试卷
代数学
$1.$(40分)考虑形式幂级数环 $\mathbb{C}[[x]]=\{\,a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsb \mid a_i\in\mathbb{C}\,\}$ 考虑$2$阶全矩阵环 $R=M_2(\mathbb{C}[[x]])$．
(1) 证明$\mathbb{C}[[x]]$为 Noether 整环；
(2) 描述$\mathbb{C}[[x]]$全部的有限生成不可分解模，并给出论证；
(3) 给出环$R$全部的双边理想，并给出论证；
(4) 描述$R$上全部的有限生成不可分解左模，以及这些模的自同态环．
$2.$(40分)将Abel群与$\mathbb{Z}$-模等同起来，考虑Abel群$G=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}$．
(1) 列出群$G$的全部子群，并给出论证；
(2) 将$G$的每个商群都分解成不可分解群的直和，并给出论证；
(3) 列出群$G$的全部直和项，并给出论证；
(4) 描述$G$的自同构群．
回顾：Abel群$G$的子群$A$称为直和项，若存在另一子群$B$满足$G=A+B$以及$A\cap B=\{0\}$．
$3.$(20分)具体给出代数同构
$$\mathbb{C}S_3 \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}\times\mathbb{C}\times M_2(\mathbb{C})\text{，}$$其中$\mathbb{C}S_3$为$S_3$的群代数；并给出相应的论证．
提示：利用不可约复表示．
分析学
$1.$设$f$是$\mathbb{R}^d$上的可积函数，对于任意的$\alpha > 0$，定义$E_\alpha=\{\,x\,\mid \left|{f(x)}\right|> \alpha\,\}$.证明：
$$\int_{\mathbb{R}^d} \left|{f(x)}\right|\,{\mathrm d}x= \int_0^\infty m(E_\alpha)\,{\mathrm d}\alpha\text{．}$$
$2.$设 $\mathbb{R}$ 上的可积函数 $f$ 和可积函数列 $f_n$ 满足
$$\int_{\mathbb{R}} \left|{f_n(x)-f(x)}\right|\,{\mathrm d}x \leqslant \frac1{n^2}\text{，}$$证明：$f_n\rightarrow f$ a.e. $x\in\mathbb{R}$．
$3.$设 $f(x)$ 在任一区间 $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ 上都绝对连续，证明：对任意的 $y\in\mathbb{R}$，
$$\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}y}\int_a^b f(x+y)\,{\mathrm d}x= \int_a^b \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}y} f(x+y)\,{\mathrm d}x\text{．}$$
$4.$设对某个 $1<p<\infty$，$f_n\in L^p([0,1])$，$||f_n||_{L^p} \leqslant 1,\,\forall n$．如果 $f_n\rightarrow 0$ a.e.
证明：$f_n$ 在 $L^p([0,1])$ 中弱收敛到 $0$．
$5.$利用残数定理计算积分
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\mathrm e}^{ax}}{1+{\mathrm e}^x}\,{\mathrm d}x\text{．}$$
$6.$若函数 $f(x)$ 在区域 $0<|z-a|<R$ 内解析，且不恒为零，如果$f(x)$有一列异于$a$且以$a$为聚点的零点．
证明：$a$是 $f(z)$ 的本性奇点．
$7.$设单连通区域$\Omega$上的全纯函数列$f_n$在$\Omega$的任意紧集上一致收敛到函数$f$．
(a)证明：$f$ 是$\Omega$上的全纯函数，并且当$n\to\infty$时，$f_n^{(k)}$在$\Omega$的任意紧集上一致收敛到函数 $f^{(k)}$；
(b)设$$\sup_{n\geqslant 1} \#\{\,z\in\Omega \mid f(z)=w\,\}\leqslant N <\infty\text{，}$$
证明：在$\Omega$中或者 $f\equiv w$，或者$$\#\{\,z\in\Omega \mid f(z)=w\,\}\leqslant N\text{．}$$
$8.$令$V,W$ 是Banach空间，$B:V\times W\rightarrow \mathbb{C}$是关于每个变量都连续的双线性泛函，即对于任意的$\xi\in V$，$B(\xi,\cdot):W\rightarrow \mathbb{C}$是连续线性泛函以及对于任意的$\eta\in V$，$B(\cdot,\eta):V\rightarrow \mathbb{C}$是连续线性泛函．
证明：$B$ 是连续的．
$9.$设 $X$ 是自反的 Banach 空间，$M$ 是 $X$ 中的有界闭凸集．
证明：对于任意的 $f\in X^\ast$，$f$ 在 $X$ 上达到最大值与最小值．
LECTURE NOTES OF WILLIAM CHEN
LECTURE NOTES OF WILLIAM CHEN
https://rutherglen.science.mq.edu.au/~maths/notes/wchen/ln.html
