1 浙大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(甲卷)

 满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)求\[\int_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - ax}} - {e^{ - bx}}}}{x}dx} \quad \left( {b > a} \right).\]

2. (15分) $\sum_{i=1}^n a_n$发散, $a_n$为正项级数.求证:

(1) $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_n}{S_n}$发散;

(2) $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{S_n}$发散.

3. (15分) 求

\[\int\limits_{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}} {\frac{{dS}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - h} \right)}^2}} }}} .\]

4. (15分) 设$A:V\to V$,\[{H_{A,\alpha }}\left( t \right) = \left\{ {\varphi \left( t \right)\left| {\varphi \left( x \right) \in Q\left[ t \right],\varphi \left( x \right) \cdot \alpha = 0} \right.} \right\}\]中次数最小的一个.证: $\exists \alpha \in V$,使${H_{A,\alpha }}\left( t \right)$为$A$的极小多项式.

1.1 某同学面试问题

1. 求\[\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {x^6}} \right)}}dx} .\]

2. 举一个无穷次可导却不解析的函数.

2 湖南大学考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(乙卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)

(1) 求极限$\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right)$;

(2) 设$f(x)$满足$f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x}$,求$f(x)$的导数;

(3) 求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}$.

2. (15分)设$r\geq 0$,求积分\[\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .\]

3. (10分)设$0<\mu <1,a>0$, $M_n$是$e^{-(x+ax^\mu )x^n}$在$(0,+\infty)$上的最大值.求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.\]

4. (10分)设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上二次连续可微,并且$f(a)=f(b)=0$.证明不等式:

\[{M^2} \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{2}\int_a^b {{{\left| {f''\left( x \right)} \right|}^2}dx} ,\]其中$M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|$.

5. (10分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}}$,求以下矩阵的特征根:

\[A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.\]

注:对$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right)$,张量积定义为$A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right)$.

6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式$\det X$是二次型,写出其对应的双线性型.

\[M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.\]

7. (20分)设可逆矩阵$A\in M_n(\mathbb C)$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.求线性变换

\[M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C),\quad X\mapsto AXA'\]

的全部特征值.

注：$M_n(\mathbb C)$表示定义在复数域$\mathbb C$上的$n$阶方阵.

3 西安交大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(乙卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)

(1) 求极限$\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right)$;

(2) 设$f(x)$满足$f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x}$,求$f(x)$的导数;

(3) 设$f:[0,1]\to R$连续,求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {\frac{{{x_1} \cdots {x_n}}}{n}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} $.

解法一.设$|f|$最大值为$M$.对任何$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得当$|x-1/2|<\delta$时,有$$\left|f(x)-f(\frac{1}{2})\right|<\varepsilon.$$

\begin{align*}&\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq &\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\+&\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|<\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq&2M\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{[0,1]^n}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\=&\frac{M}{6n\delta^2}+\varepsilon.\end{align*}

因此$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\leq \varepsilon.$$

令$\varepsilon\rightarrow0$即可.

解法二.由科尔莫格罗夫强大数定律得$$\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}\mathop \to \limits^{a.s.} E\left( {{X_i}} \right) = \frac{1}{2}\left( {n \to + \infty } \right).$$

又因为$f(x)$连续有界,由控制收敛定理可知

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E\left( {f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).$$

2. (15分)设$r\geq 0$,求积分\[\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .\]

3. (20分)设$0<\mu <1,a>0$, $M_n$是$e^{-(x+ax^\mu )x^n}$在$(0,+\infty)$上的最大值.求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.\]

4. (10分)设$m$为正整数,方程$a\equiv b \mod m$定义为$m$能整除$a-b$.当$m$取何值时,以下线性方程组有整数解?

\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z \equiv 1\left( {\bmod m} \right),\\2x - 3y + z \equiv 4\left( {\bmod m} \right),\\4x + y - z \equiv 9\left( {\bmod m} \right).\end{array} \right.\]

5. (10分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}}$,求以下矩阵的特征根: \[A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.\]

注:对$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right)$,张量积定义为$A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right)$.

6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式$\det X$是二次型,写出其对应的双线性型.

\[M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.\]

7. (20分)设$\Omega$为含有$n$个元素的有限集合, $2^\Omega$为$\Omega$的幂集(即$\Omega$的所有子集构成的集合).对任意$A,B\in 2^\Omega$,定义数乘$0A=\emptyset$(空集), $1A=A$,加法$A+B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$(对称差).

(1) 证明$2^\Omega$关于以上数乘及加法为域$Z_2=\{0,1\}$ (注意在此域上$1+1=0$)上的线性空间,求其维数.

(2) 求$2^\Omega$的一维子空间个数.

(3) 取定非空$X\in 2^\Omega$,定义线性算子$T_X:2^\Omega\mapsto 2^\Omega$为$T_X A=A\cap X,A\in 2^\Omega$.求$T_X$的极小多项式,特征多项式,特征值和相应的特征子空间.

4 吉大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(丙卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)计算

(1) 求极限$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \frac{{{1^{\alpha - 1}} + \cdots + {n^{\alpha - 1}}}}{{{n^\alpha }}} \quad {\alpha > 0} $.

(2) 已知$f'(a)$存在,$f(a)\neq0$,求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } {\left( {\frac{{f\left( {a + \frac{1}{n}} \right)}}{{f\left( a \right)}}} \right)^n}$.

(3) 设$f:[0,1]\to \mathbb R$连续,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {{{\left( {{x_1} \cdots {x_n}} \right)}^{1/n}}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} .\]

2. (15分)设$\phi (x)>0,f(x)>0$都是$[a,b]$上连续函数,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.\]

3. (20分)证明$\binom n1 - \frac{1}{2}\binom n2 + \frac{1}{3} \binom n3 - \cdots + (-1)^{n-1}\frac1n\binom nn = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$.

4. (10分)设$x,y$都是复数域上$n$阶方阵,定义$x^{(0)}=x,x^{(1)}=[x,y]\equiv xy-yx,x^{(j)}=[x^{(j-1)},y]$.证明

\[\sum\limits_{i = 0}^k {{y^i}x{y^{k - i}}} = \sum\limits_{j = 0}^k {\binom{k + 1}{j + 1} {y^{k - j}}{x^{\left( j \right)}}} .\]

5. (10分)给出平面中以下三条不同直线相交于一点的条件

\[ax+by+c=0,\quad bx+cy+a=0,\quad cx+ay+b=0.\]

求以下矩阵能对角化的条件:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\a&b&c\end{array}} \right).\]

6. (10分) 给出$M_2(\mathbb C)$中幂零矩阵所张成的线性空间的一组基.描述$M_n(\mathbb C)$中幂零矩阵所张成的线性空间.

7. (20分)证明$\cos x$是超越函数.

注：函数$f(x)$称为超越函数,如果不存在有限多个不全为零的$a_{pq},p,q=0,1,2,\cdots$,使得

\[\sum\limits_{p,q}a_{pq} x^p (f(x))^q=0,\quad \forall x\in \mathbb R.\]

5 大连理工考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(丁卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)计算

(1) 求${\sqrt 2 ^{{{\sqrt 2 }^{{{\sqrt 2 }^ \cdots }}}}}$;

(2) 求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}$;

(3) 求不定积分$\int {\frac{{x\ln x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}$.

2. (15分)设$\phi (x)>0,f(x)>0$都是$[a,b]$上连续函数,求

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{n + 1}}dx} }}{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.\]

3. (20分) 设$f(x)$为$[a,b]$上可微函数, $f(a)=f(b)=0$,但$f(x)$不恒等于零,则存在$\xi\in (a,b)$使得

\[\left| {f'\left( \xi \right)} \right| > \frac{4}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} .\]

4. (10分)设$m$为正整数,方程$a\equiv b \mod m$定义为$m$能整除$a-b$.当$m$取何值时,以下线性方程组有整数解?

\[\left\{ \begin{array}{l}x \equiv 1\left( {\bmod \,2} \right),\\x \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right),\\x\equiv 4\left( {\bmod \,5} \right).\end{array} \right.\]

5. (10分)证明代数数集合为可数集.

注：一个数称为代数数,如果它是某个系数为有理数的多项式的根.

6. (10分)设$n\geq2$,矩阵$A=(a_{ij})\in M_{n\times n}(\mathbb Z)$的每个元素要么是$-3$,要么是$4$,即$a_{ij}\in \{-3,4\}$. (1)设$S$是所有这些矩阵的和,求$S$及其秩$\mathrm{rank}\, S$; (2)证明行列式$|A^2|$是$7^{2n-2}$的倍数,即$7^{2n-2} |\, |A^2|$.

7. (20分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{array}} \right)\in M_{3\times 3}(\mathbb C)$,多项式$p(x)\in \mathbb C[x]$.

(1)证明: $p\left( A \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}&{p''\left( a \right)/2}\\0&{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}\\0&0&{p\left( a \right)}\end{array}} \right)$. \quad (2)求$e^A$.

6 中科大考题

证明$AB$和$BA$有相同的特征多项式.

7 山大考题

中国科学院大学

2016 年高校招生考试：数学(X卷)

满分100分,考试时间120分钟

1. (15分)计算

(1) 求$\mathop {\lim }_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \tan x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}}$;

(2) 求$f(x)=x^{x^x}$的导数;

(3) 求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {\frac{{x_1^2 + x_1^2 + \cdots + x_n^2}}{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}d{x_1}d{x_2}d{x_n}} .\]

2. (15分)已知$f\left( x \right) = \prod_{i = 1}^k {\left( {x - {a_i}} \right)} $,且\[ - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = {c_0} + {c_1}x + {c_2}{x^2} + \cdots + {c_n}{x^n} + \cdots ,\]求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c_n}}}{{{c_{n - 1}}}}$和$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{c_n}}}$.

3. (20分) $a,b$为实数, $x^3+abx+b$在复数域上有重根,则$a,b$应满足什么条件?

4. (10分)求\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{i\theta }}}&{2i\sin \alpha }\\0&{{e^{i\theta }}}\end{array}} \right)^n}.\]

8 厦大考题

1. $A,B$特征值不同, $f_A,f_B$为其特征多项式.

(1) 存在$g(\lambda),h(\lambda)$使得\[g(B)f_A(B)=I,h(A)g_B(A)=I.\]

(2) $AX-XB=0$只有零解;

(3) $AX-XB=C$有唯一解.

2. 设$f(x)=\frac1{1-x-x^2}$,证明$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{f^{(n)}(0)}$收敛,其中$f^{(n)}(0)$表示$f(x)$在$0$点的$n$阶导数.

北京大学数学科学学院

2016年直博生摸底考试试题

1.证明题(30分,每小题15分)

(1) 若$f(x)$在实轴上可导且$f'(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有一个零点.

(2) 若$f(x)$处处二阶可导且$f''(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有两个零点.

2.(30分)假设$\phi(x,y,z)$是原点$O$某个邻域上$C^\infty$函数,且$\phi,\phi_x,\phi_y,\phi_{xz},\phi_{yz}$在$O$点为$0$, $\phi_{xx},\phi_{yy}$在$O$点为$1$, $\phi_{xy}(O)=\frac12,\phi_{z}(O)=-\frac12$. $\phi(x,y,z)=0$的隐函数记为$z=z(x,y)$(已知$z(0,0)=0$).请讨论$z=z(x,y)$在$(0,0)$点附近的极值问题.

3.(40分)设$z=z(x,y)$是题2中的隐函数, $\Omega_\delta$是$(0,0)$点的$\delta$邻域,当$\delta$充分小时,证明如下极限存在并求之\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t\iint_{{\Omega _\delta }} {{e^{ - tz\left( {x,y} \right)}}\,dxdy} .\]

4.(20分)设$A$是一个$2$阶复方阵.考虑$2$阶复方阵的线性空间$M_2(\mathbb C)$上的线性变换

\[\phi_A:M_2(\mathbb C)\to M_2(\mathbb C);X \mapsto AX-XA.\]试确定$\dim (\ker (\phi_A))$的所有可能的取值.

5.（30分）对于有理数域$\mathbb Q$上的两个$n$阶方阵

试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$,使得$A=T^{-1}BT$.

6.(20分) $\mathbb R[x]$中有多项式$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$.试用系数$a_1,a_2,a_3,a_4$的关系式,给出$f(x)$能表达成某个不可约二次多项式$g(x)$之平方的充分必要条件.

7.(30分)欧氏平面上保定向的等距变换群的一个子群$G$,其中每一个非恒同的变换$g$都没有不动点,而且每一个平面上的点$p$在群$G$作用下得到的轨道(即点集$\{g(p)|g\in G\}$)若平面上都没有聚点.试证明$G$可以由一个或两个平移变换生成,即$G=\{n\alpha|n\in\mathbb Z\}$或$G=\{n\alpha+m\beta|n,m\in\mathbb Z\}$,其中$\mathbb Z$为整数集, $n,m$为任意整数, $\alpha,\beta$为线性无关的平移向量(也表示其对应的平移变换). $n\alpha+m\beta$即对应线性组合所表示的平移.

数学试题专用纸

2016年4月

一、i)设$D$为$\mathbb{R}^n$上的一个区域$f:D\to \mathbb{R}^n$为连续可微映射.试叙述关于映射$f$的逆映射定理(包括条件和结论).

ii)试利用逆映射定理证明不存在从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^1$的连续可微的单射.

二、给定$\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$上的向量场

\[\overrightarrow v  = \left( {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{y}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{z}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right).\]

记$\overrightarrow n$为$\mathbb{R}^3$中的单位球面$S^2$的单位外法向量场.试求积分

\[\int_{S^2}\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n d\sigma.\]

三、设定义在$\mathbb{R}$上周期为$2\pi$的函数$f$在区间$(-\pi,\pi]$上的取值为$f(x)=x$.

i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在$\mathbb R$上一致收敛.

ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数$\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$的和.

四、设$f(x)$在单位圆盘$|z|<1$上解析,满足$|f(z)|<1$,并且$f(\alpha)=0$,其中$|\alpha|<1$.

1.试证明当$|z|<1$时成立\[\left| {f\left( z \right)} \right| \le \left| {\frac{{z - \alpha }}{{1 - \overline \alpha  z}}} \right|.\]

2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.

五、给定$A\in M_n(\mathbb C)$.令$f(x)$为其特征多项式, $g(x)\in \mathbb C [x]$是一个整除$f(x)$的$n-1$次多项式.求$g(A)$可能的秩,并说明理由.

六、设$V$是复数域上的$n$维线性空间, $\sigma$为$V$上的一幂幺变换(即:存在正整数$k$使得$\sigma^k=1_V$, $1_V$是$V$上的恒等变换).设$W$为$V$的$\sigma-$不变子空间.证明$V$中存在$\sigma-$不变子空间$W'$使得$V=W\oplus W'$.

数学试题专用纸

2016年4月

一、设定义在$D\subset \mathbb R$上的函数$f$在$x_0$处解析,即存在$\delta>0$使得可以将$f$在开区间$I=(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset D$上展开成$x-x_0$的幂级数.

1.试证明$f$在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$的任意点处解析;

2.若$f$在$I$上不恒等于零.试证明$f$在$I$中的零点是孤立的,即对任一$x_1\in I$,如果$f(x_1)=0$,则存在$x_1$的邻域$J=(x_1- \epsilon,x_1+\epsilon)\subset I$,使得$f$在$J$上只有$x_1$一个零点.

二、试求由椭球面$\frac{x^2}2+\frac{y^2}6+\frac{z^2}{27}=1$在第一象限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.

三、记$S$是球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧.试利用Stokes定理计算下列积分\[\int_S {\frac{{x\,dy \wedge dz + y\,dz \wedge dx + z\,dx \wedge dy}}{{{{\left( {2{x^2} + 3{y^2} + 6{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} .\]

四、设$D$是$\mathbb R^n$中的一个区域, $K$是$D$中的一个紧集. $f:D\to \mathbb{R}^n$连续可微,满足$f$在$K$上是单射,且$\det(f')$在$K$上恒不为零.求证:存在$D$中包含$K$的开集$U$以及$\mathbb{R}^n$中包含$f(K)$的开集$V$,使得$f:U\to V$是微分同胚,且其逆$f^{-1}$连续可微.

五、设$A,B$是数域$F$上$n$阶方阵,满足$AB-BA=aB,a\in F$,且$B$不是幂零矩阵.试证明$a=0$.

六、已知$X_1=(1,-2,1)^t,X_2=(-1,a,1)^t$分别是$3$阶不可逆实对称矩阵$A$的属于特征值$1,-1$的特征向量,试求$A$.

七、假设$V$为一有限维向量空间, $T:V\to V$为一可对角化的线性变换.又设$W\subset V$为$T$的一个不变线性子空间.试证明$T$在$W$上的限制也是可对角化的.