作为跨考过来的一员，也在中科院数学系统院这边呆了一段时间，借着硕转博考试前的一些闲暇时间，再写一篇考研鸡汤。

首先是你得选好报考单位，中国科学院大学（简称国科大）这边有三个数学的机构，包括中国科学院数学与系统科学研究院（也就是我所说的中科院数学系统院，在中关村校区），中国科学院大学数学科学学院（指本部，在玉泉路校区），中科院武汉物理与数学研究所（显然在武汉），关于这几个机构有啥研究方向和导师名单，请有心人自行百度官网查询。另外，这几个机构的数学学生研一都在雁栖湖校区（基础数学研一都在玉泉路校区）进行集中教学，研二才回各自的研究所。

下面我具体介绍下数学系统院这边的情况，这边有四个研究所，分别为数学研究所（数学所），应用数学研究所（应用所），计算数学研究所（计算所），系统科学研究所（系统所）。我就在这个系统所，此所很迷，包括了我们实验室的系统理论和控制论方向，也有统计学，计算机科学，管理科学，金融学等方向。除此之外，吴文俊老先生的数学机械化中心也在我们所，没想到吧，关于这个所，我了解的是他们得学很多代数课程，所以一般也归到基础数学的行列。

如果你很希望加入我们院，成为Xionger的师弟师妹。请大家把握住下面几次机会。第一次，便是数学夏令营，一般在7月底放暑假前的几天吧，这个数学系统院官网会贴通知进行报名。夏令营期间有竞赛考试选拔出前几名，考试内容为数分高代，我微信公众号有这几年的真题。考试没通过的同学会让你进行招生考试或者考研。

第二次，数学系统院会派一些老师去部分985高校进行招生考试，比如说东南大学，厦门大学，中山大学，吉林大学，北京科技大学等等。这个招生考试一般来说是数院院长，副院长那边通知的吧，不会挂到网上，所以如果你是别的学校的，请尽早打探好情报，并问清楚你是否也能参加考试。笔试完还有面试，中科院的面试相对而言还是比较轻松，这边的老师普遍和蔼可亲，以人为本。希望同学们尽可能实事求是，充分发挥出自己的真实水平。

最后一次机会便是考研，虽然说考数分高代，但是高代题稍微难点，数分还可以。由于报考人数多，考研相对而言难度大点，这对跨专业考研的同学来说是福音。另外我也推荐跨考的同学，尽可能报考系统所的有关方向，这是经验也是真相。系统所相对而言比较欢迎跨考的学生，在这里也不是水数学，很多方向研究起来都得用大量的数学，甚至是一些前沿而热门的工具，希望大家不要有所偏见。比如我们控制论方向的，可以参考郭雷老师写的书《控制理论导论》。另外，这边的管理科学，统计学，应用统计，金融学貌似也用大量数学知识，希望经管专业的同学读研前有所准备。

如果你铁了心读基础数学，做黎曼猜测，那中科院是一个很好的选择。请你务必好好学习基础课程，打好数学功底，尽量拿到保研名额，参加各类数学竞赛提高软实力。重要的事情说三遍，尽量保研，保研，保研！

最后说一句，我之所以这么古道热肠，也是因为经历过一些难得的经历，希望大家好好珍惜。情报再多，也比不了你自己去实践，也比不上你的真才实学。但行好事，莫问前程；你若盛开，清风自来！祝好！

记国科大一些给力的老师们.

张三国老师在高等数理统计课上说：好，已经走了48个人，我们的目标是再走48个人。同学们戏称为：被三国作业支配的恐惧，三国杀，不是英雄，不读三国。

假设$\displaystyle x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}(n=1,2,\cdots )$,证明:当$x\rightarrow \infty $时, $\displaystyle x_n-\frac{\pi }{2}=o\left(\frac{1}{n^n}\right)$.

证.先证$1\leq x_n<\frac\pi /2$,得到$x_n-x_{n-1}>0$,由单调有界定理可知$x_n$极限存在且$\lim_{n\to\infty}=\frac\pi2$.下面用归纳法证明$\lim_{n\rightarrow\infty}n^n\left(x_n-\frac{\pi}{2}\right)=0$.假设

空间中四点$O,A,B,C$使得\[\angle AOB=\frac{\pi}{2},\angle BOC=\frac{\pi}{3},\angle COA=\frac{\pi}{4}\]
设$AOB$决定的平面为$\pi_1$,$BOC$决定的平面为$\pi_2$,求$\pi_1,\pi_2$二面角.求出二面角的余弦值即可.

解.

武汉大学2016年基础数学复试笔试试题

编辑整理：曹匹诺，Eufisky(Xiongge)

1.设$f(x)$在$(a,b)$上可微,且$f(x)$在$a$点右连续,试证:

(1) 若导函数$f'(x)$的右函数极限存在且为$A$,证明导函数$f'(x)$在$a$点的右侧存在且\[{{f'}_ + }\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f'\left( x \right) = A.\]

(2) $f'(x)$在$(a,b)$上不存在第一类间断点.

2.若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛,证明级数\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{\sqrt {{r_{n - 1}}} + \sqrt {{r_n}} }}} \]收敛,其中${r_n} = \sum_{k = n + 1}^\infty {{a_k}}$.

3.讨论$\lambda$取何值时, $y''+\lambda y=0$有非零的初值解,其中$y(0)=y(1)=0$.

4.$A$为正定矩阵, $A-B$为半正定矩阵,试证明:

(1) 方程$|\lambda B-A|=0$关于根$\lambda\geq1$;

(2) $|B|\leq |A|$.

5.讨论积分$\int_0^1 x^{p-1}\ln^2 xdx$在下列情况下的一致收敛性.

(1) $p\geq p_0>0$;

(2) $p>0$..

6. 设非负函数$f(x,y)$在区域$D$上可积,证明积分$\iint\limits_D f(x,y)dx=0$充分必要条件为$f(x,y)$在$D$上的连续点上等于$0$.

武汉大学2015年基础数学复试笔试试题

1.导函数极限定理, $f'(0)$存在, 而$\lim_{x\to0} f'(x)$不存在的例子.

事实上,可以考察

\[f\left( x \right) = \begin{cases}{x^2}\sin \frac{1}{x}, &x \ne 0\\0, &x = 0\end{cases}.\]

2.$\{a_n\}$是正项数列且单增.证明: $\sum_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} - 1} \right)}$收敛$\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$有界.

3.设$A$是$n$阶可逆复方阵，证明存在分解

\[A=UT,\]

其中$U$是酉矩阵，$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵，并证明这种分解的唯一性。

4.讨论微分方程过点y=0的解的存在性和唯一性，其中$\alpha>0$.

\[\frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha}.\]

5.证明含参变量积分

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy\]

关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛，在$0<x<+\infty$上非一致收敛。

6.利用数学归纳法证明$n$维空间中的$n+1$面体${B_{n + 1}}:\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i}} \right)}^{1/\alpha }}} \le 1,\alpha > 0$的体积为\[V = \frac{{{2^n}{\alpha ^{n - 1}}{{\left[ {\Gamma \left( \alpha \right)} \right]}^{n - 1}}\Gamma \left( {\alpha + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {\alpha n + 1} \right)}},\]

其中$\Gamma$为伽马函数.

1.山东大学---徐老师：0531-88364197，网站：http://www.yz.sdu.edu.cn/getNewsDetail.site?newsId=200330f8-6e1c-45c2-b4bb-65262be64252

参考：http://www.zhihu.com/question/28896781

2.

（13年武大数分）求$\displaystyle I = \iint\limits_\Sigma  {{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^{ - \frac{3}{2}}}{{\left( {\frac{{{x^2}}}{{{a^4}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^4}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^4}}}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}dS} $,其中$\sum$为椭球面: $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1(a,b,c>0)$.

下面是自己的解答：

参考：http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=21850&extra=&page=2

6.设空间体积为$V$的任意$\Omega,X_0\in \Omega ,0<\alpha<3$.证明

\[\int_\Omega {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} \le C{V^{\alpha /3}}, \text{其中$C$只与$\alpha$有关}.\]

证:(Veer)由于$\alpha-3>-3$且$\displaystyle \int_\Omega {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX}$为三重积分,故积分广义可积.

在$X_0$处作一以$X_0$为圆心的球$D$,使其体积为$V_D=V$.设$D$的半径为$R$.记$D_1=D\cap \Omega,D_2=D/D_1,\Omega_2=\Omega/D_1$,则易知$V_{D_2}=V_{\Omega_2}$.显然

\begin{align*}\int_D {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} &= \int_{{D_1}} {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} + \int_{{D_2}} {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} \\\int_\Omega {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} &= \int_{{D_1}} {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} + \int_{{\Omega _2}} {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} .\end{align*}

由积分中值定理有

\begin{align*}\int_{{D_2}} {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} &= {\left| {\xi - {X_0}} \right|^{\alpha - 3}}{V_{{D_2}}},\xi \in {D_2}\\\int_{{\Omega _2}} {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} &= {\left| {\eta - {X_0}} \right|^{\alpha - 3}}{V_{{\Omega_2}}},\eta \in {\Omega _2}.\end{align*}

易知${\left| {\xi - {X_0}} \right|^{\alpha - 3}} \ge {\left| {\eta - {X_0}} \right|^{\alpha - 3}}$.又因为${V_{{D_2}}} = {V_{{\Omega _2}}}$,则\[\int_\Omega {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} \le \int_D {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} .\]由球坐标变换易得\[\int_D {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} = \int_0^\pi {d\varphi } \int_0^{2\pi } {d\theta } \int_0^R {{r^{\alpha - 1}}\sin \varphi dr} = 4\pi \frac{{{R^\alpha }}}{\alpha }.\]又因为$\displaystyle {V_D} = V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$,则\[\int_D {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} = \frac{{{3^{\alpha /3}}{{\left( {4\pi } \right)}^{1 - \alpha /3}}}}{\alpha }{V^{\alpha /3}}.\]故\[\int_\Omega {{{\left| {X - {X_0}} \right|}^{\alpha - 3}}dX} \le \frac{{{3^{\alpha /3}}{{\left( {4\pi } \right)}^{1 - \alpha /3}}}}{\alpha }{V^{\alpha /3}},\]取$\displaystyle C = \frac{{{3^{\alpha /3}}{{\left( {4\pi } \right)}^{1 - \alpha /3}}}}{\alpha }$.

注:从上可以看出当$\Omega=D$时不等式可取等号,故$C$是最佳的,且此题可推广到$n$维上.

7.$f(x)$在$[0,1]$单增,证明:

\[\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \int_0^1 {f\left( x \right)\frac{{\sin xy}}{x}dx} = \frac{\pi }{2}f\left( {{0_ + }} \right).\]

证:这是Dirichlet引理,菲赫金哥尔茨的《微积分教程》第三卷P358有详细的证明.另外,汪林的《数学分析问题研究与评注》P147上有他的推广及其证明.

对任意给出的$\varepsilon>0$, $\exists 0<\delta<1$,使得对于$0<t\leq \delta$,

\[0 \le g\left( t \right) - g\left( {{0_ + }} \right) < M_1\varepsilon ,\]

其中$M_1$是任意给定的常数.

考察积分

\begin{align*}\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\frac{{\sin xy}}{x}dx} &= \left( {\int_0^\delta {} + \int_\delta ^1 {} } \right)\left[ {f\left( x \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\frac{{\sin xy}}{x}dx\\&= {I_1} + {I_2}.\end{align*}

对于$I_1$,运用积分第二中值定理,我们有

\[{I_1} = \left[ {f\left( \delta \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\int_\eta ^\delta {\frac{{\sin xy}}{x}dx} = \left[ {f\left( \delta \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\int_{y\eta }^{y\delta } {\frac{{\sin z}}{z}dz} ,\]

其中第二个因子对于一切值$y$一致有界.事实上,由反常积分$\displaystyle \int_0^\infty {\frac{{\sin z}}{z}dz}$的收敛性,可见当$z\to \infty$时, $z(z\geq 0)$的连续函数$\displaystyle \int_0^z {\frac{{\sin z}}{z}dz} $有有限的极限,并且对于一切值$z$有界

\[\left| {\int_0^z {\frac{{\sin z}}{z}dz} } \right| \le L\left( L \text{为常数}\right),\]从而

\[\left| {\int_{y\eta }^{y\delta } {\frac{{\sin z}}{z}dz} } \right| = \left| {\int_0^{y\delta } {} + \int_0^{y\eta } {} } \right| \le 2L.\]

对于第一个因子,取$M_1=\frac{1 }{{4L}}$,则有$f\left( \delta \right) - f\left( {{0_ + }} \right) < \frac{\varepsilon }{{4L}}$.

因此\[\left| {{I_1}} \right| \le \left[ {f\left( \delta \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\left| {\int_{y\eta }^{y\delta } {\frac{{\sin z}}{z}dz} } \right| < \frac{\varepsilon }{{4L}} \cdot 2L = \frac{\varepsilon }{2}.\]

至于$I_2$,由于$\displaystyle \int_\delta ^1 {\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{0_ + }} \right)}}{x}dx} $存在,由Riemann-Lebesgue引理可知$\mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } {I_2} = 0$,即对$\varepsilon >0,\exists M_2>0$,使得$y>M_2$时,有$\left| {{I_2}} \right| < \frac{\varepsilon }{2}$.

因此\[\left| {\int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\frac{{\sin xy}}{x}dx} } \right| \le \left| {{I_1}} \right| + \left| {{I_2}} \right| < \varepsilon .\]

即\[\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\frac{{\sin xy}}{x}dx} = 0.\]

从而

\begin{align*}&\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \int_0^1 {f\left( x \right)\frac{{\sin xy}}{x}dx} = \frac{\pi }{2}f\left( {{0_ + }} \right)\\=& \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \int_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - f\left( {{0_ + }} \right)} \right]\frac{{\sin xy}}{x}dx} + f\left( {{0_ + }} \right)\mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } \int_0^1 {\frac{{\sin xy}}{x}dx} \\= &0 + f\left( {{0_ + }} \right)\int_0^{ + \infty } {\frac{{\sin z}}{z}dz} = \frac{\pi }{2}f\left( {{0_ + }} \right).\end{align*}