涉及到星形线的一个运动轨迹问题
前几天在群里被问到一个定长木棍在竖直墙边上运动的轨迹问题，还是挺有趣的，涉及到星形线，解决起来也不简单.
（K神问题）长度为L的木棍从竖直位置开始沿墙壁一直滑到地面（墙壁与地面垂直），则木棍扫过的面积为？
解.不妨设木棍与竖直墙面的交点为A(0,Lsinθ)，与水平墙面的交点为B(Lcosθ,0)，则我们有棍上任意一点的坐标(x,y)满足
{x=αLcosθy=(1−α)Lsinθ⇒x2α2L2+y2(1−α)2L2=1.
由此得
⇒y=√(1−α)2L2−x2(1−αα)2,0<α<1,x,L>0.
我们有
y=√(1−α)2L2−x2(1−αα)2=√(1−α)2L2−x2(1α−1)2=√L2−x2+L2α2−2L2α−x2α2+2x2α.
令g(α)=L2−x2+L2α2−2L2α−x2α2+2x2α,则g′(α)=2L2α−2L2+2x2α3−2x2α2=2α3(L2α4−L2α3−x2α+x2)=2(1−α)(x2−L2α3)α3. 因此
g(α)≤g((xL)23)=L2−x2+L2(xL)43−2L2(xL)23−x2(Lx)43+2x2(Lx)23=L2−x2+3L23x43−3L43x23.
故我们有木棍扫过的区域为0≤y≤L2−x2+3L23x43−3L43x23,x∈[0,L].
故所求面积为
∫L0√L2−x2+3L23x43−3L43x23dx令u=xL__L2∫10√1−u2+3u43−3u23du=3π32L2.
事实上
∫10√1−u2+3u43−3u23du=∫10√(1−u23)3du令u=cos3v__3∫π20sin4vcos2vdv=3∫π20sin4vdv−3∫π20sin6vdv=3π32.
