三角多项式不等式
逻辑丁的提问:证明+∞∑k=1sinkxka>0,x∈(0,π),a∈(0,12]证明在(0,π)上勒贝格可积.
与sinn2类似的一些问题
1.证明: ∑nk=1sink2无界.
参看: http://www.zhihu.com/question/29094450
2.证明limn→∞1nn∑k=1sin√k=0.
这个极限可以从《数学分析习题课讲义》下册第 39 页的一系列习题的结论推得.
==================================================
引理1. 设级数 ∞∑n=1anbn 收敛,如果 bn↘0,n→∞, 那么有limn→∞(a1+a2+⋯+an)bn=0.
证明很容易,对每一个 n∈N+, 记 cn=anbn, 则 an=cnbn(bn≠0), 然后对 n∑i=1cibi 作一次 Abel 变换就可以做出来了.
推论2. 设级数 ∞∑n=1ann 收敛,那么有limn→∞a1+a2+⋯+ann=0.
在引理1中取 bn=1n,n=1,2,⋯, 再利用引理1就能得到上面的推论.
引理3. 设函数 f∈C1[1,+∞), 如果 ∫∞1|f′(x)|dx收敛, 那么广义积分 ∫∞1f(x)dx与无穷级数 ∞∑n=1f(n)有相同的敛散性.
证明大概思路: 由 Newton-Leibniz 定理可知 limx→+∞f(x)=A存在且有限.如果 A≠0, 则显然广义积分 ∫∞1f(x)dx 与无穷级数 ∞∑n=1f(n)都发散.如果A=0, 此时记Sn=∫n1f(x)dx,Tn=∑ni=1f(i),n=1,2,⋯,则数列 {Sn} 与广义积分 ∫∞1f(x)dx 敛散性相同.余下来就是证明limm→∞,n→∞|(Sm−Sn)−(Tm−Tn)|=0,这点很简单,注意到∫∞1|f′(x)|dx收敛就行了.
==================================================
命题4. limn→∞1n∑ni=1sin√i=0.
由推论2,只要能够证明到级数 ∞∑n=1sin√nn收敛就行了,再依据引理3, 只要能够证明到广义积分 ∫∞1sin√xxdx 收敛就可以了.而事实上又有∫∞1sin√xxdx=2∫∞1sinttdt,它是收敛的,这样就得到了你的问题的证明.
