三角多项式不等式
逻辑丁的提问:证明\[\sum\limits_{k = 1}^{+\infty} {\frac{{\sin kx}}{{{k^a}}}} > 0,x \in \left( {0,\pi } \right),a \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right]\]证明在$(0,\pi)$上勒贝格可积.
与$\sin n^2$类似的一些问题
1.证明: $\sum_{k=1}^n\sin k^2$无界.
参看: http://www.zhihu.com/question/29094450
2.证明\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\sin \sqrt k } = 0.\]
这个极限可以从《数学分析习题课讲义》下册第 39 页的一系列习题的结论推得.
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引理1. 设级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ 收敛,如果 $b_n\searrow0,n\to\infty$, 那么有$$\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)b_n=0.$$
证明很容易,对每一个 $n\in\mathbf N_+$, 记 $c_n=a_nb_n$, 则 $a_n=\frac{c_n}{b_n}(b_n\neq0)$, 然后对 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{b_i}$ 作一次 Abel 变换就可以做出来了.
推论2. 设级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n}$ 收敛,那么有$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=0.$$
在引理1中取 $b_n=\frac{1}{n},n=1,2,\cdots$, 再利用引理1就能得到上面的推论.
引理3. 设函数 $f\in C^1[1,+\infty)$, 如果 $\displaystyle\int_1^\infty|f'(x)|\mathrm{d}x $收敛, 那么广义积分 $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x $与无穷级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n) $有相同的敛散性.
证明大概思路: 由 Newton-Leibniz 定理可知 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A $存在且有限.如果 $A\neq0$, 则显然广义积分 $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x$ 与无穷级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n) $都发散.如果$ A=0$, 此时记$S_n=\int_1^n f(x)\mathrm{d}x,T_n=\sum_{i=1}^nf(i),n=1,2,\cdots$,则数列 $\{S_n\}$ 与广义积分 $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x$ 敛散性相同.余下来就是证明$\lim_{m\to\infty,\atop n\to\infty}|(S_m-S_n)-(T_m-T_n)|=0$,这点很简单,注意到$ \displaystyle\int_1^\infty|f'(x)|\mathrm{d}x $收敛就行了.
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命题4. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sin\sqrt i=0.$
由推论2,只要能够证明到级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\sqrt n}{n} $收敛就行了,再依据引理3, 只要能够证明到广义积分 $\displaystyle\int_1^\infty\frac{\sin\sqrt x}{x}\mathrm{d}x$ 收敛就可以了.而事实上又有$\int_1^\infty\frac{\sin\sqrt x}{x}\mathrm{d}x=2\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$,它是收敛的,这样就得到了你的问题的证明.
