三角多项式不等式
逻辑丁的提问:证明+∞∑k=1sinkxka>0,x∈(0,π),a∈(0,12]证明在(0,π)上勒贝格可积.
与sinn2类似的一些问题
1.证明: ∑nk=1sink2无界.
参看: http://www.zhihu.com/question/29094450
2.证明lim
这个极限可以从《数学分析习题课讲义》下册第 39 页的一系列习题的结论推得.
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引理1. 设级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_nb_n 收敛,如果 b_n\searrow0,n\to\infty, 那么有\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)b_n=0.
证明很容易,对每一个 n\in\mathbf N_+, 记 c_n=a_nb_n, 则 a_n=\frac{c_n}{b_n}(b_n\neq0), 然后对 \displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{b_i} 作一次 Abel 变换就可以做出来了.
推论2. 设级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n} 收敛,那么有\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=0.
在引理1中取 b_n=\frac{1}{n},n=1,2,\cdots, 再利用引理1就能得到上面的推论.
引理3. 设函数 f\in C^1[1,+\infty), 如果 \displaystyle\int_1^\infty|f'(x)|\mathrm{d}x 收敛, 那么广义积分 \displaystyle\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x 与无穷级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n) 有相同的敛散性.
证明大概思路: 由 Newton-Leibniz 定理可知 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A 存在且有限.如果 A\neq0, 则显然广义积分 \displaystyle\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x 与无穷级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f(n) 都发散.如果 A=0, 此时记S_n=\int_1^n f(x)\mathrm{d}x,T_n=\sum_{i=1}^nf(i),n=1,2,\cdots,则数列 \{S_n\} 与广义积分 \displaystyle\int_1^\infty f(x)\mathrm{d}x 敛散性相同.余下来就是证明\lim_{m\to\infty,\atop n\to\infty}|(S_m-S_n)-(T_m-T_n)|=0,这点很简单,注意到 \displaystyle\int_1^\infty|f'(x)|\mathrm{d}x 收敛就行了.
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命题4. \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sin\sqrt i=0.
由推论2,只要能够证明到级数 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin\sqrt n}{n} 收敛就行了,再依据引理3, 只要能够证明到广义积分 \displaystyle\int_1^\infty\frac{\sin\sqrt x}{x}\mathrm{d}x 收敛就可以了.而事实上又有\int_1^\infty\frac{\sin\sqrt x}{x}\mathrm{d}x=2\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t,它是收敛的,这样就得到了你的问题的证明.