武汉大学2016年基础数学复试笔试试题
武汉大学2016年基础数学复试笔试试题
编辑整理：曹匹诺，Eufisky(Xiongge)
1.设$f(x)$在$(a,b)$上可微,且$f(x)$在$a$点右连续,试证:
(1) 若导函数$f'(x)$的右函数极限存在且为$A$,证明导函数$f'(x)$在$a$点的右侧存在且\[{{f'}_ + }\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f'\left( x \right) = A.\]
(2) $f'(x)$在$(a,b)$上不存在第一类间断点.
2.若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛,证明级数\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{\sqrt {{r_{n - 1}}} + \sqrt {{r_n}} }}} \]收敛,其中${r_n} = \sum_{k = n + 1}^\infty {{a_k}}$.
3.讨论$\lambda$取何值时, $y''+\lambda y=0$有非零的初值解,其中$y(0)=y(1)=0$.
4.$A$为正定矩阵, $A-B$为半正定矩阵,试证明:
(1) 方程$|\lambda B-A|=0$关于根$\lambda\geq1$;
(2) $|B|\leq |A|$.
5.讨论积分$\int_0^1 x^{p-1}\ln^2 xdx$在下列情况下的一致收敛性.
(1) $p\geq p_0>0$;
(2) $p>0$..
6. 设非负函数$f(x,y)$在区域$D$上可积,证明积分$\iint\limits_D f(x,y)dx=0$充分必要条件为$f(x,y)$在$D$上的连续点上等于$0$.
武汉大学2015年基础数学复试笔试试题
武汉大学2015年基础数学复试笔试试题
1.导函数极限定理, $f'(0)$存在, 而$\lim_{x\to0} f'(x)$不存在的例子.
事实上,可以考察
\[f\left( x \right) = \begin{cases}{x^2}\sin \frac{1}{x}, &x \ne 0\\0, &x = 0\end{cases}.\]
2.$\{a_n\}$是正项数列且单增.证明: $\sum_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} - 1} \right)}$收敛$\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$有界.
3.设$A$是$n$阶可逆复方阵，证明存在分解
\[A=UT,\]
其中$U$是酉矩阵，$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵，并证明这种分解的唯一性。
4.讨论微分方程过点y=0的解的存在性和唯一性，其中$\alpha>0$.
\[\frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha}.\]
5.证明含参变量积分
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy\]
关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛，在$0<x<+\infty$上非一致收敛。
6.利用数学归纳法证明$n$维空间中的$n+1$面体${B_{n + 1}}:\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i}} \right)}^{1/\alpha }}} \le 1,\alpha > 0$的体积为\[V = \frac{{{2^n}{\alpha ^{n - 1}}{{\left[ {\Gamma \left( \alpha \right)} \right]}^{n - 1}}\Gamma \left( {\alpha + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {\alpha n + 1} \right)}},\]
其中$\Gamma$为伽马函数.
武汉大学2014年基础数学复试笔试题回忆
试题来自陈洪葛的博客.
问题1.（10分）函数$f(x)$在$(-1,1)$上连续，除了$0$这一点外可导。
- 若$f(x)$的导函数当$x\to 0$时极限存在，证明$f(x)$在$0$点的导数存在。
- 上述命题的逆命题是否成立？就是说$f(x)$在$0$点的导数存在是不是一定有$f(x)$在$x\to 0$的极限存在？成立请证明，否则给出反例。
问题2（10分）证明函数$f(x)$在$(a,b)$上一致连续的充分必要条件是对$(a,b)$上的收敛数列$\{x_{n}\}$,数列$\{f(x_{n})\}$也收敛。
问题3（10分）
证明含参变量积分
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy\]
关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛，在$0<x<+\infty$上非一致收敛。
问题4（10分）设$X$是带有度量空间上的紧集，$E\subset X,\varphi(x)$是$E$上的变换，且满足
\[d(\varphi(x),\varphi(y))<d(x,y) \qquad (x\neq y,x,y\in E).\]
证明$\varphi(x)$在E中存在唯一的不动点。
问题5（10分）(Tauber定理)
设在$-1<x<1$上有
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\]
并且
\[\lim_{n\to\infty}na_{n}=0.\]
若$\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=S$,则$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$收敛且其和为$S$.
问题6 （15分）
讨论微分方程过点y=0的解的存在性和唯一性，其中$\alpha>0$.
\[\frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha}.\]
问题7 （15分）设$A$是$n$阶可逆复方阵，证明存在分解
\[A=UT,\]
其中$U$是酉矩阵，$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵，并证明这种分解的唯一性。
问题8 （20分）
已知$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right) \in \mathbb{C}^{2\times 2}$,定义$\mathbb{C}^{2\times 2}$的变换$f:f(X)=XA,\forall X\in \mathbb{C}^{2\times 2}$.
- 证明$f$是$\mathbb{C}^{2\times 2}$的线性变换;
-
求$f$在$\mathbb{C}^{2\times 2}$的基
\[{E_{11}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right),{E_{12}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right),{E_{21}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right),{E_{22}}= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&1\end{array}} \right)\]
下的矩阵$M$.
- 给出$\mathbb{C}^{2\times 2}$的两个非零的$f$不变子空间$V_1$和$V_2$,使得$\mathbb{C}^{2\times 2}=V_1\oplus V_2$,请阐述理由.
- 证明:存在$\mathbb{C}^{2\times 2}$的一个基,使得$f$在这一基下的矩阵为对角矩阵当且仅当矩阵$A$与对角矩阵相似.
