i的i次方等于多少?
写了三篇δ函数的博文后，现在来点轻松的。别以为是说“爱的爱次方等多少”。理科男在这里，还没想到这样浪漫的事，其实是谈初等数学，这里i是虚数符号，问：$i^i = ?$
这原是我在高中上了复数课后，写来考同学玩的。欧拉公式还记得吗？$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，我们知道 $e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=i$，代入不难算出 $i^i =(e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576…$，套公式而已，简单到没难度，结论匪夷所思。大约两百多年前的数学家，以至现在的物理学者和工程师，都喜欢这种用公式推导的创意。只是对学多数学的人，再看就会纠结。数学的严谨性说多了让人烦，所以都自觉地不啰嗦了。
前不久，有个解5次方程的爱好者，在科学网群组上分享他的成果，又给我留言，就进去逛一下。看到两个爱好者，在哪儿交流根式解的心得，一个宣称“如不能仅引进2次根式得解，负数的高于2次的根式，就只能是另外的，既非实数也非虚数或复数的其它数类！”，说“$(-3)^{1/5}$ 就既非实数也非虚数或复数！”这问题就比较有趣了。本来用棣莫弗公式或欧拉公式，直接能给出答案。不过就此聊点数域扩充和运算延拓的话题，比起辅导中学代数，多少还是有点技术含量。这值得写篇博文与大家分享。
在数学发展史上，常将一些运算推行到其他的数，且希望保持原有运算结果和性质，这叫延拓。这时运算的结果，也许不能都用已有的数类来表达，就需要将数类扩充，以保持运算的封闭性。历史上数类经历过了几次的扩充。例如，一直到了15世纪，0 和负数才被西方认同。在这之前的数都是正数，减法只对被减数大于减数时才有意义，将加减法运算推广到所有的数，就需要引入 0 和负数，以保持对运算的封闭性。无理数被引入，是来保证毕达哥斯定理正确性。引入复数为保证代数方程有解。包含超越数的实数，因无穷数列收敛的完备性而定义。现在我们知道，数 x 的整数 n 次方，定义为 x 自乘 n 次。问在已知的数类中，能否有一个数记为 $x^{1/n}$，使得它的 n 次方等于 x？
如果x是个正数，这个并不难回答。存在着已知的算法可以精确计算到任何位数的一个正实数，记为 $\sqrt[n]{x}$，这称为实数开 n 次方的主根（principal root），或称为算术根。x 是 0，答案是 0；x 是负数，当 n 为奇数时，答案是负实数 $-\sqrt[n]{|x|}$。这里$\sqrt[n]{x}$ 是 n 为参数，正实数域上的正实数值函数，称为 n 次根式。当n是偶数，x是负数时，则需要扩充到复数来满足，特别地，定义负数变量开2次方函数$\sqrt{x}=i\sqrt{|x|}$。
因为根式是有已知算法的单值函数，所以人们希望代数方程解能用它来表达。但对四次以上方程一般是不可能的。代数方程的解用它的系数加以根式符号和四则运算来表达，称为根式解。比如说，$x^2=2$，它的根表达为：$x_1=\sqrt{2}, \;\; x_2=-\sqrt{2}$，韦达定理说二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根式解是：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这是我们从初中就开始熟悉的概念。
好了，有了这些大家中学都已烂熟的知识，我们就可以运用公式推导来创造奇迹！比如说你导公式得到下面两个等式：
$i= (-1)^{1/2} = ((-1)(-1)(-1))^{1/2} =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=iii=-i$，
$-1=(-1)^1 = ((-1)^2)^{1/2}=1^{1/2}=1$。
如果你还比较淡定，不信这么容易就能震惊世界，就会自省一下错在哪里。这除了上面重申过的约定外，就是用了从中学就熟知的指数运算律。对于指数运算 $x^y$，有指数分配律 $(xy)^z = x^zy^z$，指数相乘律 $(x^y)^z = x^{yz}$，指数相加律 $x^yx^z = x^{y+z}$，这里分别用了前两个，有问题吗？
有！尽管指数运算，与加减乘除四则运算一样的基本，我们在各种公式推导中都毫不经意地运用他们，其实并没有证明过它们的运算律适用于这里。在上面悖论等式中，其实 $ ((-1)(-1)(-1))^{1/2} \neq (-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}, \;\;\; (-1)^1\neq ((-1)^2)^{1/2}$。
我们必须认真研究一下，这指数运算律的适用范围了。
最初 $x^n$ 指 n 是正整数，它意思是正实数 x 自乘 n 次。由这定义推算，就有了指数运算律。对它们是其他数的适用性还需要证明。先看一下，怎么从这自乘开始，延拓这个运算的。
把正整数n固定，$x^n$ 仍然定义成 x 自乘 n 次，这叫幂函数。可以把幂函数自变量x的定义域延拓到复数域，定义 $x^0=1 , \;\; x^{-n}=1/x^n $，同样直接从定义就能证明非0复数的整数幂函数满足指数运算律。从上面悖论等式看到，指数运算律不适用于分数幂函数。所以这方向的拓展到此为止。
把指数运算 $x^y$ 中的 x 固定，限定为正实数，写成参数 a，式子 $a^y$ 称为 a 为底的指数函数。定义 $a^0=1 , \;\; a^{-n}=1/a^n $，定义 $a^{1/n}$ 为 $a^n$ 的主根。从 y 为正整数开始，应用指数运算律和极限运算，可以把正实数底a的指数函数 $a^y$，自变量 y 的定义域，从正整数延拓到实数。它也满足全部的指数运算律。这时它的值域也是正实数，当底数 a 不是 1 时，这函数是单调的，反函数存在，把它记为 $\log_a(\cdot)$，这个对数函数定义域是正实数，参数 a 为非 1 的正实数，值域是实数。我们有关系式 $y=\log_a(a^y)$。记 $\ln(\cdot)=\log_e(\cdot)$，当 x 是正实数，y 是实数时，指数运算可以表示为 e 的指数函数的形式：$x^y= e^{y\ln x}$，它们满足指数运算律。这些都是熟知的中学代数的内容。
它们已是满足指数运算律的幂函数和指数函数能够拓展的极限了。所以二元的指数运算 $x^y$ 只有 x 的定义域为正实数，y 的定义域为实数时，得值是正实数，才有指数运算律。当我们企图把二元的指数运算中x变量的定义域延拓到正实数之外时，我们遇到了麻烦。其一是 $(-1)^{1/2}$ 在实数值域上没有对应值。这在历史上已经解决，它的处理是大家熟知的，把数域扩展到复数域，记虚数符 $i = \sqrt{-1}$，但一切也只到此为止。我们甚至无法在指数函数 $(-1)^y$ 中，把 y 整数变量的定义域延拓到整数的倒数，前面已看到它无法满足指数分配律和相乘律。此路不通了。
把 x 的 n 次幂的定义域延拓到包括负数与复数，所遇到问题的本质是在这定义域中，n 次方不是个一一映射，几个不同自变量值可能对应于同一个函数值，当我们企图将逆运算限制在某个分支的根，例如用主根，来定义 $x^{1/n}$ 时，指数分配律和指数相乘律，都可能让不同分支的根在自乘中等同起来。这产生了矛盾。
不再拘于指数运算律了，看看我们能否对其中的一元函数再作任何延拓。
前面说过复数的整数幂都有定义，并满足指数运算律。所以幂级数 $\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$ 的每一项都有定义，它对实数 x 收敛于一个实数，对复数 x 收敛于一个复数，由此定义可以定义函数 exp(x)。可以证明它满足指数相加律 $\exp(x)exp(y) = \exp(x+y)$。不难证明它是唯一符合微分方程 df(x)/dx = f(x) 和初始条件 f(0)=1 的解。所以它在 x 为实数时是已知的指数函数 $e^x$，在 x 为复数时也称为指数函数，用相同的表示法，由欧拉公式有 $z=x +iy,\;\; e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$.
这个定义域为复数的指数函数，满足指数分配律和指数相乘律吗？对指数为整数 n 时尚可，$(\exp(z)exp(w))^n=\exp(z)^n \exp(w)^n, \;\;\; \exp(z)^n=\exp(nz)$，其他则不能。因为底 a 不是 e 的指数函数 $a^z$，在复数域都还没有定义。可以证明无论怎样定义，按指数分配律和指数相乘律计算都会引起矛盾。
这么说，我们前面套公式得到 $i^i = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576…$，是胡整了？起码在 $(e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2}$ 这一步用到的指数相乘律是没有根据的。
在复变函数的论域中，改变了传统上函数是单值的和等式是两边的数值相等的定义，给这问题新的答案。前面指数运算进一步扩展的问题在于，扩展定义域相当于扩展逆运算的值域，如果扩展后不再是一一的映射，那么它的逆运算对应的是一个多值的集合。
在复变函数论域中，我们可以允许函数是多值的，其值表示为一个集合，两个集合间的运算，定义为分别在两个集合里选取每个元素进行计算，其函数值是所有可能运算结果的集合。等式“=”定义为两边的集合相等。
好，我们来看，这带来什么不同。复数z可以用极坐标来表示 $z=r(\cos\theta + i\sin\theta)$，这个表示式不是唯一的。所以它的逆运算，即绝对值运算 |z| = r 还是通常的单值函数；但幅角 $Arg(z) = \theta + 2k\pi$，这里k是任意的整数（此后不再赘述），这是一个多值函数，对应的数值是一个可数的无穷集合。由欧拉公式，这个表示式可以写成 $z = |z|e^{iArg(z)}$，这又成单值的等式了。由此可以定义复数指数函数的反函数 $Ln(z) = \ln |z| + i Arg(z)$，这是将对数函数 ln z 扩展到复数域上的多值函数。注意，它不是延拓，延拓要保持原有变量和函数值的对应不变，将定义域扩展到没有定义的地方。而这函数当变量是正实数时，并不等于相应的对数值，而是包括着它的一个集合。例如 $\ln 1 = 0, \;\; Ln 1 = 2k\pi = \{…,-6\pi, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, 6\pi, …\}$。但以此我们可以定义复数域上的指数运算了，$z^w = \exp(w Ln(z))$。这也是扩展，不是上述单值函数的延拓。例如，在复变函数论域里，指数运算，$1^{1/2} = \exp(Ln(1)/2) = \exp(ik\pi) = \{ 1, -1 \}$。一般来说这个指数的运算不再保持指数运算律了，只能看成一个多值的函数。不再有指数相加律和指数相乘律了，$z^wz^v, \;\; (z^w)^v$ 未必对应有$z^{w+v}, \;\; z^{wv}$了，例如 $-1 =e^{i\pi + i2k\pi} \neq (e^{2(i\pi + i2k\pi)})^{1/2} = 1^{1/2}=\{-1, 1\}$。它的意义在于对这个运算有定义，而且按指数运算律化简了计算所得的值，是直接运算结果集合值中一部分。
现在来看标题问句的答案。我们可以在复变函数论域里，有根据地按定义来计算了。
$i^i= \exp(i Ln i) = \exp(i (i\pi/2 + i2k\pi)) = \exp(-\pi/2 - 2k\pi)=\exp(-\pi/2) \exp(-2k\pi)$
它是0.207879576…乘上或除以任意多次535.4916555… 的一个可数无穷集合。篇首的答案0.207879576… 只是其中的一个数值。
好了，如果你们通读到此，相信这些初等数学的内容都不难理解。把知识变成自己的最好方法，是做几道习题。现在问你们。在复变函数的论域中，下面两个式子分别等多少？
$(-2)^{1/3}, \hspace{5 mm}, (-1)^i$
请写出不可约5次代数方程 $x^5+2=0$ 的根式解？
（把你们的解答放在评论里，我的答案后天附在下面）
【答案】
$(-2)^{1/3} = \exp(Ln(-2)/3) = \{-\sqrt[3]{2}, \;\;\; \sqrt[3]{2}(1/2 -i\sqrt{3}/2), \;\;\; \sqrt[3]{2}(1/2 + i\sqrt{3}/2) \}$
$ (-1)^i = \exp(iLn(-1))= e^{-\pi+2k\pi} = 0.043213918 \times 535.4916555^k$
有理数域不可约5次方程 $x^5+2=0$，它的根式解是：
$x_0 = -\sqrt[5]{2}$
$x_1 = -\sqrt[5]{2}((\sqrt{5}-1)/4+ i \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4), \;\;\; x_2 =-\sqrt[5]{2}(-(\sqrt{5}+1)/4 + i \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4) $
$x_3 = -\sqrt[5]{2}(-(\sqrt{5}+1)/4 - i \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4),\;\;\; x_4 = -\sqrt[5]{2}((\sqrt{5}-1)/4- i \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4),$
这是怎么得来的？其实很简单，在复变函数论域计算 $(-2)^{1/5}$, 也可以直接根据棣莫弗公式有：
$x_n = -\sqrt[5]{2}(\cos(2n\pi/5) +i\sin(2n\pi/5)), \;\;\; n=0,1,2,3,4$
计算$\sqrt[5]{2}=1.148698355...$，根据三角公式可以推出这特殊角的正余弦的根式和数值，
$\cos(2\pi/5)=(\sqrt{5}-1)/4= 0.309016994...$，
$\sin(2\pi/5)=\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4= 0.951056516...$，
$\cos(\pi/5)=(\sqrt{5}+1)/4= 0.809016994…$
$\sin(\pi/5)=\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4= 0.587785252...$
