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Eufisky - The lost book

杂题

设函数 f(x) [a,b] 上连续,但不为常数.求证: ξ(a,b),使 f(x) ξ 不取极值.

注意到 f 不是常数函数, 并且 fC[a,b], 所以 f 的值域 R 是一个有限闭区间. 

先将 f 开拓定义到整个 R 上: 对 xa,f(x)=f(a);xb,f(x)=f(b).C={f(x); x 是 f 在 R 中的极小值点}, 下面来证明 C 是一个至多可列集. 

任给 cC, 存在 xR 以及 ux,vxQ, 使得 ux<x<vx, f(y)f(x)=c, y(ux,vx).这样就得到了一个从 CQ×Q 的单射 c(ux,vx), 故 C 是至多可列集.

类似可证 f 极大值的全体也是至多可列集. 从而 f 的极值的全体是 R 的至多可列子集. 这就完成了证明. 

一个很好的函数

一个白衣书生出游,于湖光山色之中寻得一寺,寺中有一老僧。二人相谈甚欢,便携手入院。老僧见书生谈吐不凡,遂生考较之意。见院内瓜果藤蔓,老僧出上联曰:”一阶石桌两个闲人三尺小院,四顾春色静看五月石榴。”书生羽扇轻摇,蛋定一笑:”这有何难:五维空间四次齐次三角函数,二重积分必然一致连续。

哆塔微博上告知了一个很好的实函数y=x(cos(2πx)1+1)+0lnx.

图象是(1,1),(2,2),,(n,n),这些离散的点.