杂题
设函数$~f(x)$ 在$~[a,b]$ 上连续,但不为常数.求证:$~\exists \xi\in(a,b)$,使$~f(x)$ 在$~\xi$ 不取极值.
注意到 $f$ 不是常数函数, 并且 $f\in C[a,b],$ 所以 $f$ 的值域 $R$ 是一个有限闭区间.
先将 $f$ 开拓定义到整个 $\mathbf R$ 上: 对 $x\leq a,$ 让 $f(x)=f(a);$ 对 $x\geq b,$ 让 $f(x)=f(b).$ 让 $$C=\{f(x);\ \hbox{$x$ 是 $f$ 在 $\mathbf R$ 中的极小值点}\},$$ 下面来证明 $C$ 是一个至多可列集.
任给 $c\in C,$ 存在 $x\in\mathbf R$ 以及 $u_x,v_x\in\mathbf Q,$ 使得 $$u_x<x<v_x,\ f(y)\geq f(x)=c,\ \forall y\in(u_x,v_x).$$这样就得到了一个从 $C$ 到 $\mathbf Q\times\mathbf Q$ 的单射 $c\mapsto(u_x,v_x)$, 故 $C$ 是至多可列集.
类似可证 $f$ 极大值的全体也是至多可列集. 从而 $f$ 的极值的全体是 $R$ 的至多可列子集. 这就完成了证明.
一个很好的函数
一个白衣书生出游，于湖光山色之中寻得一寺，寺中有一老僧。二人相谈甚欢，便携手入院。老僧见书生谈吐不凡，遂生考较之意。见院内瓜果藤蔓，老僧出上联曰：”一阶石桌两个闲人三尺小院，四顾春色静看五月石榴。”书生羽扇轻摇，蛋定一笑：”这有何难：五维空间四次齐次三角函数，二重积分必然一致连续。
哆塔微博上告知了一个很好的实函数\[y = x\left( {\sqrt {\cos \left( {2\pi x} \right) - 1} + 1} \right) + 0 \cdot \ln x.\]
图象是$(1,1),(2,2),\cdots,(n,n),\cdots$这些离散的点.
