中科院数学系统院2016年夏令营试题
中国科学院数学与系统科学研究院
2016 年大学生数学夏令营考试试卷
考生须知:
1. 本试卷满分为100 分,全部考试时间总计120 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1.(10分)确定矩阵分别为
(12320−13−13),(130311015)的二次型在下列域上是否等价:
(a)实数域.(b)有理数域?
2.(10分)设W1,W2是V的子空间,如果W1∪W2=V.证明:或者V=W1,或者V=W2.
3.(15分)设V是n维实向量空间, φ:V→V是线性映射.
χφ(t)=(t−λ1)⋯(t−λn),(λi∈C)是φ的特征多项式.
试证明:或者λi∈R(1≤i≤n),或者V有一个2维不变子空间W⊂V,使φ|W的特征多项式不可约.
4.(15分) 设(V,<,>)是n维欧氏空间, V∗表示由所有线性函数V→R组成的对偶空间.试证明:
(1)映射V→V∗,v↦<⋅,v>是线性同构.
(2)对任意线性映射f:V→V.验证映射f∗:V∗→V∗.f∗(ℓ)=ℓ⋅f是对偶空间的线性映射.
(3)对任意线性映射φ:V→V,存在唯一线性映射φ∗:V→V满足:<φ(x),y>=<x,φ∗(y)>,∀x,y∈V.
5.(10分) 证明:当x→1−时,∞∑n=0xn2∼12√π1−x.
证明:由Lagrange中值定理可知x(n+1)2<∫n+1nxt2dt=xξ2<xn2,ξ∈(n,n+1).
因此∫∞0xt2dt=∞∑n=0∫n+1nxt2dt<∞∑n=0xn2且∞∑n=0xn2=1+∞∑n=0x(n+1)2<1+∞∑n=0∫n+1nxt2dt=1+∫∞0xt2dt,
即∫∞0xt2dt<∞∑n=0xn2<1+∫∞0xt2dt.
而∫∞0xt2dt=∫∞0et2lnxdt=1√ln1x∫∞0e−u2du=√π21√ln1x.
注意到lnt∼t−1t,t→1+
我们有ln1x∼1−x,x→1−
因此∫∞0xt2dt=√π21√ln1x∼√π21√1−x=12√π1−x.
6.(10分) 证明:圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小.
证明:不妨假设此圆是单位圆,其外切三角形周长为2p=a+b+c.由海伦公式可知S=12a+12b+12c=√p(p−a)(p−b)(p−c).故2p=a+b+c=2(p−a)(p−b)(p−c)⩽因此S=p\geqslant\sqrt{27},当且仅当a=b=c时取等成立.
7.(15分)设\varphi(x)表示实数x与其最近整数间之差的绝对值.令f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\varphi(4^k x)}{4^k}.证明:
(1)(5分). f(x)在(-\infty,+\infty)上处处连续;
(2)(10分). f(x)在(-\infty,+\infty)上处处不可微.
8.(15分)设f(x)\in C[0,+\infty),且对任何非负实数a,有\lim_{x\to\infty}(f(x+a)-f(x))=0.证明:存在g(x)\in C[0,+\infty)和h(x)\in C^1[0,+\infty),使得: f(x)=g(x)+h(x),且满足\lim_{x\to\infty}g(x)=0,\lim_{x\to\infty}h'(x)=0.
中科院数学系统院高校招生考试试题
1 浙大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试:数学(甲卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)求\int_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - ax}} - {e^{ - bx}}}}{x}dx} \quad \left( {b > a} \right).
2. (15分) \sum_{i=1}^n a_n发散, a_n为正项级数.求证:
(1) \sum_{i=1}^\infty \frac{a_n}{S_n}发散;
(2) \sum_{i=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{S_n}发散.
3. (15分) 求
\int\limits_{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}} {\frac{{dS}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - h} \right)}^2}} }}} .
4. (15分) 设A:V\to V,{H_{A,\alpha }}\left( t \right) = \left\{ {\varphi \left( t \right)\left| {\varphi \left( x \right) \in Q\left[ t \right],\varphi \left( x \right) \cdot \alpha = 0} \right.} \right\}中次数最小的一个.证: \exists \alpha \in V,使{H_{A,\alpha }}\left( t \right)为A的极小多项式.
1.1 某同学面试问题
1. 求\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {x^6}} \right)}}dx} .
2. 举一个无穷次可导却不解析的函数.
2 湖南大学考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试:数学(乙卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)
(1) 求极限\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right);
(2) 设f(x)满足f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x},求f(x)的导数;
(3) 求\mathop {\lim }_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}.
2. (15分)设r\geq 0,求积分\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .
3. (10分)设0<\mu <1,a>0, M_n是e^{-(x+ax^\mu )x^n}在(0,+\infty)上的最大值.求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.
4. (10分)设函数f(x)在闭区间[a,b]上二次连续可微,并且f(a)=f(b)=0.证明不等式:
{M^2} \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{2}\int_a^b {{{\left| {f''\left( x \right)} \right|}^2}dx} ,其中M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|.
5. (10分)设A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}},求以下矩阵的特征根:
A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.
注:对A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right),张量积定义为A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right).
6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式\det X是二次型,写出其对应的双线性型.
M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.
7. (20分)设可逆矩阵A\in M_n(\mathbb C)的特征值为\lambda_1,\cdots,\lambda_n.求线性变换
M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C),\quad X\mapsto AXA'
的全部特征值.
注:M_n(\mathbb C)表示定义在复数域\mathbb C上的n阶方阵.
3 西安交大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试:数学(乙卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)
(1) 求极限\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right);
(2) 设f(x)满足f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x},求f(x)的导数;
(3) 设f:[0,1]\to R连续,求\mathop {\lim }_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {\frac{{{x_1} \cdots {x_n}}}{n}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} .
解法一.设|f|最大值为M.对任何\varepsilon>0,存在\delta>0,使得当|x-1/2|<\delta时,有\left|f(x)-f(\frac{1}{2})\right|<\varepsilon.
\begin{align*}&\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq &\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\+&\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|<\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq&2M\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{[0,1]^n}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\=&\frac{M}{6n\delta^2}+\varepsilon.\end{align*}
因此\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\leq \varepsilon.
令\varepsilon\rightarrow0即可.
解法二.由科尔莫格罗夫强大数定律得\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}\mathop \to \limits^{a.s.} E\left( {{X_i}} \right) = \frac{1}{2}\left( {n \to + \infty } \right).
又因为f(x)连续有界,由控制收敛定理可知
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E\left( {f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).
2. (15分)设r\geq 0,求积分\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .
3. (20分)设0<\mu <1,a>0, M_n是e^{-(x+ax^\mu )x^n}在(0,+\infty)上的最大值.求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.
4. (10分)设m为正整数,方程a\equiv b \mod m定义为m能整除a-b.当m取何值时,以下线性方程组有整数解?
\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z \equiv 1\left( {\bmod m} \right),\\2x - 3y + z \equiv 4\left( {\bmod m} \right),\\4x + y - z \equiv 9\left( {\bmod m} \right).\end{array} \right.
5. (10分)设A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}},求以下矩阵的特征根: A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.
注:对A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right),张量积定义为A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right).
6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式\det X是二次型,写出其对应的双线性型.
M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.
7. (20分)设\Omega为含有n个元素的有限集合, 2^\Omega为\Omega的幂集(即\Omega的所有子集构成的集合).对任意A,B\in 2^\Omega,定义数乘0A=\emptyset(空集), 1A=A,加法A+B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)(对称差).
(1) 证明2^\Omega关于以上数乘及加法为域Z_2=\{0,1\} (注意在此域上1+1=0)上的线性空间,求其维数.
(2) 求2^\Omega的一维子空间个数.
(3) 取定非空X\in 2^\Omega,定义线性算子T_X:2^\Omega\mapsto 2^\Omega为T_X A=A\cap X,A\in 2^\Omega.求T_X的极小多项式,特征多项式,特征值和相应的特征子空间.
4 吉大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试:数学(丙卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)计算
(1) 求极限\mathop {\lim }_{n \to \infty } \frac{{{1^{\alpha - 1}} + \cdots + {n^{\alpha - 1}}}}{{{n^\alpha }}} \quad {\alpha > 0} .
(2) 已知f'(a)存在,f(a)\neq0,求\mathop {\lim }_{n \to \infty } {\left( {\frac{{f\left( {a + \frac{1}{n}} \right)}}{{f\left( a \right)}}} \right)^n}.
(3) 设f:[0,1]\to \mathbb R连续,求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {{{\left( {{x_1} \cdots {x_n}} \right)}^{1/n}}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} .
2. (15分)设\phi (x)>0,f(x)>0都是[a,b]上连续函数,求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.
3. (20分)证明\binom n1 - \frac{1}{2}\binom n2 + \frac{1}{3} \binom n3 - \cdots + (-1)^{n-1}\frac1n\binom nn = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.
4. (10分)设x,y都是复数域上n阶方阵,定义x^{(0)}=x,x^{(1)}=[x,y]\equiv xy-yx,x^{(j)}=[x^{(j-1)},y].证明
\sum\limits_{i = 0}^k {{y^i}x{y^{k - i}}} = \sum\limits_{j = 0}^k {\binom{k + 1}{j + 1} {y^{k - j}}{x^{\left( j \right)}}} .
5. (10分)给出平面中以下三条不同直线相交于一点的条件
ax+by+c=0,\quad bx+cy+a=0,\quad cx+ay+b=0.
求以下矩阵能对角化的条件:
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\a&b&c\end{array}} \right).
6. (10分) 给出M_2(\mathbb C)中幂零矩阵所张成的线性空间的一组基.描述M_n(\mathbb C)中幂零矩阵所张成的线性空间.
7. (20分)证明\cos x是超越函数.
注:函数f(x)称为超越函数,如果不存在有限多个不全为零的a_{pq},p,q=0,1,2,\cdots,使得
\sum\limits_{p,q}a_{pq} x^p (f(x))^q=0,\quad \forall x\in \mathbb R.
5 大连理工考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试:数学(丁卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)计算
(1) 求{\sqrt 2 ^{{{\sqrt 2 }^{{{\sqrt 2 }^ \cdots }}}}};
(2) 求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}};
(3) 求不定积分\int {\frac{{x\ln x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}.
2. (15分)设\phi (x)>0,f(x)>0都是[a,b]上连续函数,求
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{n + 1}}dx} }}{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.
3. (20分) 设f(x)为[a,b]上可微函数, f(a)=f(b)=0,但f(x)不恒等于零,则存在\xi\in (a,b)使得
\left| {f'\left( \xi \right)} \right| > \frac{4}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} .
4. (10分)设m为正整数,方程a\equiv b \mod m定义为m能整除a-b.当m取何值时,以下线性方程组有整数解?
\left\{ \begin{array}{l}x \equiv 1\left( {\bmod \,2} \right),\\x \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right),\\x\equiv 4\left( {\bmod \,5} \right).\end{array} \right.
5. (10分)证明代数数集合为可数集.
注:一个数称为代数数,如果它是某个系数为有理数的多项式的根.
6. (10分)设n\geq2,矩阵A=(a_{ij})\in M_{n\times n}(\mathbb Z)的每个元素要么是-3,要么是4,即a_{ij}\in \{-3,4\}. (1)设S是所有这些矩阵的和,求S及其秩\mathrm{rank}\, S; (2)证明行列式|A^2|是7^{2n-2}的倍数,即7^{2n-2} |\, |A^2|.
7. (20分)设A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{array}} \right)\in M_{3\times 3}(\mathbb C),多项式p(x)\in \mathbb C[x].
(1)证明: p\left( A \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}&{p''\left( a \right)/2}\\0&{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}\\0&0&{p\left( a \right)}\end{array}} \right). \quad (2)求e^A.
6 中科大考题
证明AB和BA有相同的特征多项式.
7 山大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试:数学(X卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)计算
(1) 求\mathop {\lim }_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \tan x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}};
(2) 求f(x)=x^{x^x}的导数;
(3) 求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {\frac{{x_1^2 + x_1^2 + \cdots + x_n^2}}{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}d{x_1}d{x_2}d{x_n}} .
2. (15分)已知f\left( x \right) = \prod_{i = 1}^k {\left( {x - {a_i}} \right)} ,且 - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = {c_0} + {c_1}x + {c_2}{x^2} + \cdots + {c_n}{x^n} + \cdots ,求\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c_n}}}{{{c_{n - 1}}}}和\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{c_n}}}.
3. (20分) a,b为实数, x^3+abx+b在复数域上有重根,则a,b应满足什么条件?
4. (10分)求{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{i\theta }}}&{2i\sin \alpha }\\0&{{e^{i\theta }}}\end{array}} \right)^n}.
8 厦大考题
1. A,B特征值不同, f_A,f_B为其特征多项式.
(1) 存在g(\lambda),h(\lambda)使得g(B)f_A(B)=I,h(A)g_B(A)=I.
(2) AX-XB=0只有零解;
(3) AX-XB=C有唯一解.
2. 设f(x)=\frac1{1-x-x^2},证明\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{f^{(n)}(0)}收敛,其中f^{(n)}(0)表示f(x)在0点的n阶导数.
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