中国科学院数学与系统科学研究院

2016 年大学生数学夏令营考试试卷

考生须知：

1. 本试卷满分为100 分，全部考试时间总计120 分钟。

2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1.(10分)确定矩阵分别为

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&0&{ - 1}\\3&{ - 1}&3\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&0\\3&1&1\\0&1&5\end{array}} \right) \text{的二次型在下列域上是否等价：}\]

(a)实数域.(b)有理数域?

2.(10分)设$W_1,W_2$是$V$的子空间,如果$W_1\cup W_2=V$.证明：或者$V=W_1$,或者$V=W_2$.

3.(15分)设$V$是$n$维实向量空间, $\varphi:V\to V$是线性映射.

$\chi_\varphi(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n),(\lambda_i\in \mathbb C)$是$\varphi$的特征多项式.

试证明：或者$\lambda_i\in \mathbb R(1\leq i\leq n)$,或者$V$有一个$2$维不变子空间$W\subset V$,使$\varphi|_W$的特征多项式不可约.

4.(15分) 设$(V,<,>)$是$n$维欧氏空间, $V^\ast$表示由所有线性函数$V\to \mathbb R$组成的对偶空间.试证明:

（1）映射$V\to V^\ast,v\mapsto<\cdot,v>$是线性同构.

（2）对任意线性映射$f:V\to V$.验证映射\[f^\ast:V^\ast\to V^\ast.f^\ast(\ell)=\ell\cdot f\]是对偶空间的线性映射.

（3）对任意线性映射$\varphi:V\to V$,存在唯一线性映射$\varphi^\ast: V\to V$满足:$<\varphi(x),y>=<x,\varphi^\ast(y)>,\forall x,y\in V$.

5.(10分) 证明：当$x\to 1^-$时,\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{n^2}}}} \sim \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{1 - x}}} .\]

证明：由Lagrange中值定理可知\[{x^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < \int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt}  = {x^{{\xi ^2}}} < {x^{{n^2}}},\quad \xi  \in \left( {n,n + 1} \right).\]

因此\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} }  < \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{n^2}}}} \]且\[\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{n^2}}}}  = 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  < 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} }  = 1 + \int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt} ,\]

即\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  < \sum\limits_{n = 0}^\infty  {{x^{{n^2}}}}  < 1 + \int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt} .\]

而\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  = \int_0^\infty  {{e^{{t^2}\ln x}}dt}  = \frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }}\int_0^\infty  {{e^{ - {u^2}}}du}  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2}\frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }}.\]

注意到\[\ln t \sim \frac{{t - 1}}{t},\quad t \to {1^ + }\]

我们有\[\ln \frac{1}{x} \sim 1 - x,\quad x \to {1^ - }\]

因此\[\int_0^\infty  {{x^{{t^2}}}dt}  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2}\frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }} \sim \frac{{\sqrt \pi  }}{2}\frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{1 - x}}} .\]

6.(10分) 证明：圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小.

证明：不妨假设此圆是单位圆,其外切三角形周长为$2p=a+b+c$.由海伦公式可知$$S=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$故$$2p=a+b+c=2(p-a)(p-b)(p-c)\leqslant \frac{2}{27}p^3.$$因此$$S=p\geqslant\sqrt{27},$$当且仅当$a=b=c$时取等成立.

7.(15分)设$\varphi(x)$表示实数$x$与其最近整数间之差的绝对值.令\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\varphi(4^k x)}{4^k}.\]证明：

（1）(5分). $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上处处连续;

（2）(10分). $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上处处不可微.

8.(15分)设$f(x)\in C[0,+\infty)$,且对任何非负实数$a$,有\[\lim_{x\to\infty}(f(x+a)-f(x))=0.\]证明：存在$g(x)\in C[0,+\infty)$和$h(x)\in C^1[0,+\infty)$,使得: $f(x)=g(x)+h(x)$,且满足\[\lim_{x\to\infty}g(x)=0,\lim_{x\to\infty}h'(x)=0.\]