碰到的数学分析中的反例
- 在$\mathbb{R}$上连续的有界函数一定一致连续吗?
考察函数$$f(x)=\sin x^2.$$- 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可微,则$f'(x)$在$[a,b]$上有界?
考察函数\[f(x)=x^{\frac32}\sin\frac1x.\]- 存不存在这样函数, $f(a)=0$, $f(x)$在区间$[a,b]$上连续,在区间$(a,b)$上可导且$f(x)>0$,而对任意$\varepsilon>0$,函数在区间$(a,a+\varepsilon)$是不单调递增的?
考察函数\[x\sin \frac1x+10x.\]- 是否存在仅在一点可导而在该点之外的每一点都不可导的函数?
考察函数\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2},x\text{为无理数}\\0,x\text{为有理数}\end{array} \right.\]在点$x=0$即可.
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