一个很好的积分题
背景是这个:
然后郝XX跟我说了下他的求法,还是挺有意思的!
求
∫2π0ecosxcos(sinx)cosnxdx.
由Euler公式,我们有
eycosxcos(ysinx)+ieycosxsin(ysinx)=eycosx⋅eiysinx=eycosx+iysinx=ey(cosx+isinx)=+∞∑n=0ynn!(cosx+isinx)n=+∞∑n=0ynn!(cosx+isinx)n=+∞∑n=0ynn!(cosnx+isinnx)=+∞∑n=0yncosnxn!+i+∞∑n=0ynsinnxn!.
因此有
eycosxcos(ysinx)=+∞∑n=0yncosnxn!,eycosxsin(ysinx)=+∞∑n=0ynsinnxn!.
在第一个式子中令y=1,我们有
ecosxcos(sinx)=+∞∑n=0cosnxn!.
因此我们有
∫2π0ecosxcos(sinx)cosnxdx=∫2π0(cosnx⋅+∞∑n=0cosnxn!)dx=∫2π0(cosnx⋅cosnxn!)dx={πn!,n≥12π,n=0.
而对于无穷乘积∞∏n=3cosπn!≈0.858314.也就是管理员一分钟都不能禁他!!!
事实上,我们有
∫π0epcosxcos(psinx)cosqxdx=∫π0epcosxcosqxRe(eipsinx)dx=∫π0cosqxRe(eipsinx+pcosx)dx=∫π0cosqxRe(epeix)dx=∫π0cosqxRe(∞∑k=0pkeikxk!)dx=∞∑k=0pkk!∫π0cosqxcoskxdx=12∞∑k=0pkk![sin(k−q)xk−q−sin(k+q)xk+q]π0=π2pqq!.