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一个很好的积分题 - Eufisky - The lost book
几个逼格稍高的积分级数题
北京大学数学科学学院2015年直博生摸底考试试题解答

一个很好的积分题

Eufisky posted @ 2015年8月22日 00:54 in 数学分析 with tags 积分计算 , 1109 阅读

背景是这个:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

然后郝XX跟我说了下他的求法,还是挺有意思的!


2π0ecosxcos(sinx)cosnxdx.


由Euler公式,我们有

eycosxcos(ysinx)+ieycosxsin(ysinx)=eycosxeiysinx=eycosx+iysinx=ey(cosx+isinx)=+n=0ynn!(cosx+isinx)n=+n=0ynn!(cosx+isinx)n=+n=0ynn!(cosnx+isinnx)=+n=0yncosnxn!+i+n=0ynsinnxn!.

因此有

eycosxcos(ysinx)=+n=0yncosnxn!,eycosxsin(ysinx)=+n=0ynsinnxn!.

在第一个式子中令y=1,我们有

ecosxcos(sinx)=+n=0cosnxn!.

因此我们有

2π0ecosxcos(sinx)cosnxdx=2π0(cosnx+n=0cosnxn!)dx=2π0(cosnxcosnxn!)dx={πn!,n12π,n=0.


而对于无穷乘积n=3cosπn!0.858314.也就是管理员一分钟都不能禁他!!!

事实上,我们有

π0epcosxcos(psinx)cosqxdx=π0epcosxcosqxRe(eipsinx)dx=π0cosqxRe(eipsinx+pcosx)dx=π0cosqxRe(epeix)dx=π0cosqxRe(k=0pkeikxk!)dx=k=0pkk!π0cosqxcoskxdx=12k=0pkk![sin(kq)xkqsin(k+q)xk+q]π0=π2pqq!.

 


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