级数中的一些反例
判断题:若级数+∞∑n=1a3n 收敛, 则+∞∑n=1ann亦收敛.
反例:(老骥伏枥)令an=1logn3√cos2nπ3,所以a3n=1log3ncos2nπ3.用狄利克雷判别法级数∑∞n=1a3n收敛.(因为1log3n递减趋于零, cos2nπ3部分和有界).而
∞∑n=1ann=∞∑k=0[1(3k+3)log(3k+3)−13√2(1(3k+1)log(3k+1)+1(3k+2)log(3k+2))]∼∞∑k=01klogk
发散。(柯西积分判别法)
如果是正项级数,根据Holder不等式能够说明∑∞n=1ann收敛.