2015年浙大数分题
1. 求 lim.
2. 求\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0+} \dfrac{1}{x^5}\int_0^x e^{-t^2}dt+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}.
3. \displaystyle I(r)=\oint \dfrac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x-\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y, 其中曲线方程为x^2+y^2+xy=r^2, 取正方向, 求\lim\limits_{r\rightarrow\infty}I(r).
4. 求\displaystyle\int_{e^{-2n\pi}}^0 \sin\ln\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x.
5. 考察黎曼函数的连续性, 可微性, 黎曼可积性.
6. 在\mathbb{R}^n中, f为定义在某个区域上的一个函数, 有一阶连续偏导, 且偏导数有界.
证明:
(1) 若D为凸区域证明f一致连续.
(2)考察D不是凸区域的情况.
7. \{f_n\}为一个连续函数列, 且对于任意给定的x, \{f_n(x)\}有界, 证明存在一个小区间在此小区间内f_n一致有界.
8. (1) 证明\Gamma(s)在 (0,\infty内无穷次可微.
(2) 证明\Gamma(s) , \ln(\Gamma)都是严格凸函数.
9. f 二阶可微, 且f, f', f'' 都大于等于0, 且存在一个正数c, f''(x)\leq cf(x). 证明:
(1) \displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0;
(2) 证明存在正数a, 有f'\leq af,并求出a.
10. 证明 Fejer定理.
11. 设f在[A, B]上黎曼可积, 0<f<1, 对于任意的\varepsilon, 构造一个函数g, 满足
(1) g是一个阶梯函数, 且取值只能为0或1.
(2) \displaystyle\left| \int_a^b f-g \mathrm{d}x\right|<\varepsilon, a, b 属于[A,B]不等号关于a, b是一致的.