2015年浙大数分题

Eufisky posted @ 2015年9月11日 16:22 in 数学分析 with tags 考研 , 1059 阅读

1. 求

$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{(n^2+1)(n^2+2)..(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)..(n^2-n)}$ .

2. 求

$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0+} \dfrac{1}{x^5}\int_0^x e^{-t^2}dt+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}$ .

$\displaystyle I(r)=\oint \dfrac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x-\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$ , 其中曲线方程为

$x^2+y^2+xy=r^2$ , 取正方向, 求

$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}I(r)$ .

4. 求

$\displaystyle\int_{e^{-2n\pi}}^0 \sin\ln\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$ .

5. 考察黎曼函数的连续性, 可微性, 黎曼可积性.

6. 在

$\mathbb{R}^n$ 中,

$f$ 为定义在某个区域上的一个函数, 有一阶连续偏导, 且偏导数有界.

证明:

(1) 若

$D$ 为凸区域证明

$f$ 一致连续.

(2)考察

$D$ 不是凸区域的情况.

$\{f_n\}$ 为一个连续函数列, 且对于任意给定的

$x$ ,

$\{f_n(x)\}$ 有界, 证明存在一个小区间在此小区间内

$f_n$ 一致有界.

8. (1) 证明

$\Gamma(s)$ 在

$(0,\infty$ 内无穷次可微.

(2) 证明

$\Gamma(s)$ ,

$\ln(\Gamma)$ 都是严格凸函数.

$f$ 二阶可微, 且

$f$ ,

$f'$ ,

$f''$ 都大于等于

$0$ , 且存在一个正数

$c$ ,

$f''(x)\leq cf(x)$ . 证明:

(1)

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$ ;

(2) 证明存在正数

$a$ , 有

$f'\leq af$ ,并求出

$a$ .

10. 证明 Fejer定理.

11. 设

$f$ 在

$[A, B]$ 上黎曼可积,

$0<f<1$ , 对于任意的

$\varepsilon$ , 构造一个函数

$g$ , 满足

(1)

$g$ 是一个阶梯函数, 且取值只能为

$0$ 或

$1$ .

(2)

$\displaystyle\left| \int_a^b f-g \mathrm{d}x\right|<\varepsilon$ ,

$a$ ,

$b$ 属于

$[A,B]$ 不等号关于

$a$ ,

$b$ 是一致的.