2015年浙大数分题
1. 求 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{(n^2+1)(n^2+2)..(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)..(n^2-n)}$.
2. 求$\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow 0+} \dfrac{1}{x^5}\int_0^x e^{-t^2}dt+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}$.
3. $\displaystyle I(r)=\oint \dfrac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x-\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$, 其中曲线方程为$x^2+y^2+xy=r^2$, 取正方向, 求$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}I(r)$.
4. 求$\displaystyle\int_{e^{-2n\pi}}^0 \sin\ln\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$.
5. 考察黎曼函数的连续性, 可微性, 黎曼可积性.
6. 在$\mathbb{R}^n$中, $f$为定义在某个区域上的一个函数, 有一阶连续偏导, 且偏导数有界.
证明:
(1) 若$D$为凸区域证明$f$一致连续.
(2)考察$D$不是凸区域的情况.
7. $\{f_n\}$为一个连续函数列, 且对于任意给定的$x$, $\{f_n(x)\}$有界, 证明存在一个小区间在此小区间内$f_n$一致有界.
8. (1) 证明$\Gamma(s)$在 $(0,\infty$内无穷次可微.
(2) 证明$\Gamma(s)$ , $\ln(\Gamma)$都是严格凸函数.
9. $f$ 二阶可微, 且$f$, $f'$, $f''$ 都大于等于$0$, 且存在一个正数$c$, $f''(x)\leq cf(x)$. 证明:
(1) $\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$;
(2) 证明存在正数$a$, 有$f'\leq af$,并求出$a$.
10. 证明 Fejer定理.
11. 设$f$在$[A, B]$上黎曼可积, $0<f<1$, 对于任意的$\varepsilon$, 构造一个函数$g$, 满足
(1) $g$是一个阶梯函数, 且取值只能为$0$或$1$.
(2) $\displaystyle\left| \int_a^b f-g \mathrm{d}x\right|<\varepsilon$, $a$, $b$ 属于$[A,B]$不等号关于$a$, $b$是一致的.
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