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解题过程中碰到的几个特殊数列 - Eufisky - The lost book
Euler-Maclaurin求和公式估计梯形积分公式的误差
多元里的两道问题

解题过程中碰到的几个特殊数列

Eufisky posted @ 2015年9月22日 19:24 in 数学分析 with tags 数列 , 1382 阅读

1.Catalan数

设数列{an}满足a0=1,以及

an=a0an1+a1an2++an1a0,n1,

试求an的表达式.(详见周民强第二册P378)


解.令f(x)=a0+a1x++anxn+,以及

F(x)=xf(x)=a0x+a1x2++anxn+1+F2(x)=a20x2+(a0a1+a1a0)x3++(a0an1+a1an2++an1a0)xn+1+=a1x2+a2x3++anxn+1+=F(x)a0x,
由此知F(x)=(114x)/2(注意F(0)=0).因为有
14x=1+C11/2(4x)+C21/2(4x)2++Cn+11/2(4x)n+1+,
所以F(x)的Taylor级数展开式中的an
an=12Cn+11/2(4)n+1=1212(12)(32)(2n12)n!(1)n+14n+1=Cn2nn+1.

2.Bell数

背景1.设P(x)=a0+a1x++amxmm次多项式,求级数n=0P(n)n!的和.

事实上,

bk=n=0nkn!=n=1nk1(n1)!=n=0(n+1)k1n!=bk1+C1k1bk2++Ck2k1b1+b0,
其中b0=e.
由此得到的数叫Bell数,记为Bn,并且
B(x)=n=0B(n)n!xn=eex1.
 
回到原题,我们有n=0P(n)n!=emk=0akBk.

背景2.(2005年中科院考研题)设eex=n=0anxn,求a0,a1,a2,a3,并证明ane(rlnn)n(n>2),其中r是某个大于e的常数.

证.利用幂级数展开式如下:

eex=k=0ekxk!=k=01k!(n=0(kx)nn!)=n=0xnn!(k=0knk!), 
因此有
an=1n!k=0knk!>knn!k!,
这样对每一个 k0成立.
 
以下取 k 使得本题的不等式成立即可. 由于本题的 γ 可以放大, 因此只要在等价的意义下成立即可. 这时又可以将阶乘理解为 Γ 函数, 因此 k 用非整数代入是可以的. 以下证明, 取k=nlnn代入已经可以得到所要的不等式.
这时就有
knn!k!=(nlnn)nn!(nlnn)!(nlnn)n2πn(ne)n2πnlnn(nelnn)nlnn=(elnn)nlnnlnn2πn(lnn)n.
 
由于最后一式中的分子为无穷大量, 大于e没有问题. 又由于 a>1 时, 2πnan=o(1), 因此任取 γ>e, 存在 N, 使得当 n>N 时成立 an>e(γlnn)n. 最后再放大 γ 使得不等式对一切 n2 成立即可.

 


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