解题过程中碰到的几个特殊数列
1.Catalan数
设数列{an}满足a0=1,以及
an=a0an−1+a1an−2+⋯+an−1a0,n≥1,
试求an的表达式.(详见周民强第二册P378)
解.令f(x)=a0+a1x+⋯+anxn+⋯,以及
F(x)=xf(x)=a0x+a1x2+⋯+anxn+1+⋯F2(x)=a20x2+(a0a1+a1a0)x3+⋯+(a0an−1+a1an−2+⋯+an−1a0)xn+1+⋯=a1x2+a2x3+⋯+anxn+1+⋯=F(x)−a0x,
由此知F(x)=(1−√1−4x)/2(注意F(0)=0).因为有
√1−4x=1+C11/2(−4x)+C21/2(−4x)2+⋯+Cn+11/2(−4x)n+1+⋯,
所以F(x)的Taylor级数展开式中的an为
an=−12Cn+11/2(−4)n+1=−1212⋅(−12)⋅(−32)⋯(−2n−12)n!(−1)n+14n+1=Cn2nn+1.
2.Bell数
背景1.设P(x)=a0+a1x+⋯+amxm为m次多项式,求级数∞∑n=0P(n)n!的和.
事实上,
bk=∞∑n=0nkn!=∞∑n=1nk−1(n−1)!=∞∑n=0(n+1)k−1n!=bk−1+C1k−1bk−2+⋯+Ck−2k−1b1+b0,
其中b0=e.
由此得到的数叫Bell数,记为Bn,并且
B(x)=∞∑n=0B(n)n!xn=eex−1.
回到原题,我们有∞∑n=0P(n)n!=em∑k=0akBk.
背景2.(2005年中科院考研题)设eex=∞∑n=0anxn,求a0,a1,a2,a3,并证明an≥e(rlnn)−n(n>2),其中r是某个大于e的常数.
证.利用幂级数展开式如下:
eex=∞∑k=0ekxk!=∞∑k=01k!(∞∑n=0(kx)nn!)=∞∑n=0xnn!(∞∑k=0knk!),
因此有
an=1n!∞∑k=0knk!>knn!k!,
这样对每一个 k≥0成立.
以下取 k 使得本题的不等式成立即可. 由于本题的 γ 可以放大, 因此只要在等价的意义下成立即可. 这时又可以将阶乘理解为 Γ 函数, 因此 k 用非整数代入是可以的. 以下证明, 取k=nlnn代入已经可以得到所要的不等式.
这时就有
knn!k!=(nlnn)nn!(nlnn)!∼(nlnn)n√2πn(ne)n⋅√2πnlnn(nelnn)nlnn=(elnn)nlnn√lnn2πn(lnn)n.
由于最后一式中的分子为无穷大量, 大于e没有问题. 又由于 a>1 时, 2πnan=o(1), 因此任取 γ>e, 存在 N, 使得当 n>N 时成立 an>e(γlnn)n. 最后再放大 γ 使得不等式对一切 n≥2 成立即可.