i的i次方等于多少? - Eufisky - The lost book
史济怀复变习题解答
两个奇怪的积分

i的i次方等于多少?

Eufisky posted @ 2015年9月24日 01:08 in 复分析 with tags 复数 , 3317 阅读
写了三篇δ函数的博文后,现在来点轻松的。别以为是说“爱的爱次方等多少”。理科男在这里,还没想到这样浪漫的事,其实是谈初等数学,这里i是虚数符号,问:$i^i = ?$
 
这原是我在高中上了复数课后,写来考同学玩的。欧拉公式还记得吗?$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$,我们知道 $e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=i$,代入不难算出 $i^i =(e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576…$,套公式而已,简单到没难度,结论匪夷所思。大约两百多年前的数学家,以至现在的物理学者和工程师,都喜欢这种用公式推导的创意。只是对学多数学的人,再看就会纠结。数学的严谨性说多了让人烦,所以都自觉地不啰嗦了。
 
前不久,有个解5次方程的爱好者,在科学网群组上分享他的成果,又给我留言,就进去逛一下。看到两个爱好者,在哪儿交流根式解的心得,一个宣称“如不能仅引进2次根式得解,负数的高于2次的根式,就只能是另外的,既非实数也非虚数或复数的其它数类!”,说“$(-3)^{1/5}$ 就既非实数也非虚数或复数!”这问题就比较有趣了。本来用棣莫弗公式或欧拉公式,直接能给出答案。不过就此聊点数域扩充和运算延拓的话题,比起辅导中学代数,多少还是有点技术含量。这值得写篇博文与大家分享。
 
在数学发展史上,常将一些运算推行到其他的数,且希望保持原有运算结果和性质,这叫延拓。这时运算的结果,也许不能都用已有的数类来表达,就需要将数类扩充,以保持运算的封闭性。历史上数类经历过了几次的扩充。例如,一直到了15世纪,0 和负数才被西方认同。在这之前的数都是正数,减法只对被减数大于减数时才有意义,将加减法运算推广到所有的数,就需要引入 0 和负数,以保持对运算的封闭性。无理数被引入,是来保证毕达哥斯定理正确性。引入复数为保证代数方程有解。包含超越数的实数,因无穷数列收敛的完备性而定义。现在我们知道,数 x 的整数 n 次方,定义为 x 自乘 n 次。问在已知的数类中,能否有一个数记为 $x^{1/n}$,使得它的 n 次方等于 x?
 
如果x是个正数,这个并不难回答。存在着已知的算法可以精确计算到任何位数的一个正实数,记为 $\sqrt[n]{x}$,这称为实数开 n 次方的主根(principal root),或称为算术根。x 是 0,答案是 0;x 是负数,当 n 为奇数时,答案是负实数 $-\sqrt[n]{|x|}$。这里$\sqrt[n]{x}$ 是 n 为参数,正实数域上的正实数值函数,称为 n 次根式。当n是偶数,x是负数时,则需要扩充到复数来满足,特别地,定义负数变量开2次方函数$\sqrt{x}=i\sqrt{|x|}$。
 
因为根式是有已知算法的单值函数,所以人们希望代数方程解能用它来表达。但对四次以上方程一般是不可能的。代数方程的解用它的系数加以根式符号和四则运算来表达,称为根式解。比如说,$x^2=2$,它的根表达为:$x_1=\sqrt{2}, \;\;  x_2=-\sqrt{2}$,韦达定理说二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根式解是:
 
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,这是我们从初中就开始熟悉的概念。
 
好了,有了这些大家中学都已烂熟的知识,我们就可以运用公式推导来创造奇迹!比如说你导公式得到下面两个等式:
 
$i= (-1)^{1/2} = ((-1)(-1)(-1))^{1/2} =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=iii=-i$,
 
$-1=(-1)^1 = ((-1)^2)^{1/2}=1^{1/2}=1$。
 
如果你还比较淡定,不信这么容易就能震惊世界,就会自省一下错在哪里。这除了上面重申过的约定外,就是用了从中学就熟知的指数运算律。对于指数运算 $x^y$,有指数分配律 $(xy)^z = x^zy^z$,指数相乘律 $(x^y)^z = x^{yz}$,指数相加律 $x^yx^z = x^{y+z}$,这里分别用了前两个,有问题吗?
 
有!尽管指数运算,与加减乘除四则运算一样的基本,我们在各种公式推导中都毫不经意地运用他们,其实并没有证明过它们的运算律适用于这里。在上面悖论等式中,其实 $ ((-1)(-1)(-1))^{1/2} \neq (-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}, \;\;\; (-1)^1\neq ((-1)^2)^{1/2}$。
 
我们必须认真研究一下,这指数运算律的适用范围了。
 
最初 $x^n$ 指 n 是正整数,它意思是正实数 x 自乘 n 次。由这定义推算,就有了指数运算律。对它们是其他数的适用性还需要证明。先看一下,怎么从这自乘开始,延拓这个运算的。
 
把正整数n固定,$x^n$  仍然定义成 x 自乘 n 次,这叫幂函数。可以把幂函数自变量x的定义域延拓到复数域,定义 $x^0=1 , \;\; x^{-n}=1/x^n $,同样直接从定义就能证明非0复数的整数幂函数满足指数运算律。从上面悖论等式看到,指数运算律不适用于分数幂函数。所以这方向的拓展到此为止。
 
把指数运算 $x^y$ 中的 x 固定,限定为正实数,写成参数 a,式子 $a^y$ 称为 a 为底的指数函数。定义 $a^0=1 , \;\; a^{-n}=1/a^n $,定义 $a^{1/n}$ 为 $a^n$  的主根。从 y 为正整数开始,应用指数运算律和极限运算,可以把正实数底a的指数函数 $a^y$,自变量 y 的定义域,从正整数延拓到实数。它也满足全部的指数运算律。这时它的值域也是正实数,当底数 a 不是 1 时,这函数是单调的,反函数存在,把它记为 $\log_a(\cdot)$,这个对数函数定义域是正实数,参数 a 为非 1 的正实数,值域是实数。我们有关系式 $y=\log_a(a^y)$。记 $\ln(\cdot)=\log_e(\cdot)$,当 x 是正实数,y 是实数时,指数运算可以表示为 e 的指数函数的形式:$x^y= e^{y\ln x}$,它们满足指数运算律。这些都是熟知的中学代数的内容。
 
它们已是满足指数运算律的幂函数和指数函数能够拓展的极限了。所以二元的指数运算 $x^y$ 只有 x 的定义域为正实数,y 的定义域为实数时,得值是正实数,才有指数运算律。当我们企图把二元的指数运算中x变量的定义域延拓到正实数之外时,我们遇到了麻烦。其一是 $(-1)^{1/2}$ 在实数值域上没有对应值。这在历史上已经解决,它的处理是大家熟知的,把数域扩展到复数域,记虚数符 $i = \sqrt{-1}$,但一切也只到此为止。我们甚至无法在指数函数 $(-1)^y$ 中,把 y  整数变量的定义域延拓到整数的倒数,前面已看到它无法满足指数分配律和相乘律。此路不通了。
 
把 x 的 n 次幂的定义域延拓到包括负数与复数,所遇到问题的本质是在这定义域中,n 次方不是个一一映射,几个不同自变量值可能对应于同一个函数值,当我们企图将逆运算限制在某个分支的根,例如用主根,来定义 $x^{1/n}$ 时,指数分配律和指数相乘律,都可能让不同分支的根在自乘中等同起来。这产生了矛盾。
 
不再拘于指数运算律了,看看我们能否对其中的一元函数再作任何延拓。
 
前面说过复数的整数幂都有定义,并满足指数运算律。所以幂级数 $\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$ 的每一项都有定义,它对实数 x 收敛于一个实数,对复数 x 收敛于一个复数,由此定义可以定义函数 exp(x)。可以证明它满足指数相加律 $\exp(x)exp(y) = \exp(x+y)$。不难证明它是唯一符合微分方程 df(x)/dx = f(x)  和初始条件 f(0)=1 的解。所以它在 x 为实数时是已知的指数函数 $e^x$,在 x 为复数时也称为指数函数,用相同的表示法,由欧拉公式有 $z=x +iy,\;\; e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$.
 
这个定义域为复数的指数函数,满足指数分配律和指数相乘律吗?对指数为整数 n 时尚可,$(\exp(z)exp(w))^n=\exp(z)^n \exp(w)^n, \;\;\; \exp(z)^n=\exp(nz)$,其他则不能。因为底 a 不是 e 的指数函数  $a^z$,在复数域都还没有定义。可以证明无论怎样定义,按指数分配律和指数相乘律计算都会引起矛盾。
 
这么说,我们前面套公式得到 $i^i = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576…$,是胡整了?起码在 $(e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2}$ 这一步用到的指数相乘律是没有根据的。
 
在复变函数的论域中,改变了传统上函数是单值的和等式是两边的数值相等的定义,给这问题新的答案。前面指数运算进一步扩展的问题在于,扩展定义域相当于扩展逆运算的值域,如果扩展后不再是一一的映射,那么它的逆运算对应的是一个多值的集合。
 
在复变函数论域中,我们可以允许函数是多值的,其值表示为一个集合,两个集合间的运算,定义为分别在两个集合里选取每个元素进行计算,其函数值是所有可能运算结果的集合。等式“=”定义为两边的集合相等。
 
好,我们来看,这带来什么不同。复数z可以用极坐标来表示 $z=r(\cos\theta + i\sin\theta)$,这个表示式不是唯一的。所以它的逆运算,即绝对值运算  |z| = r  还是通常的单值函数;但幅角 $Arg(z) = \theta + 2k\pi$,这里k是任意的整数(此后不再赘述),这是一个多值函数,对应的数值是一个可数的无穷集合。由欧拉公式,这个表示式可以写成  $z = |z|e^{iArg(z)}$,这又成单值的等式了。由此可以定义复数指数函数的反函数 $Ln(z) = \ln |z| + i Arg(z)$,这是将对数函数 ln z  扩展到复数域上的多值函数。注意,它不是延拓,延拓要保持原有变量和函数值的对应不变,将定义域扩展到没有定义的地方。而这函数当变量是正实数时,并不等于相应的对数值,而是包括着它的一个集合。例如 $\ln 1 = 0,  \;\; Ln 1 = 2k\pi = \{…,-6\pi, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, 6\pi, …\}$。但以此我们可以定义复数域上的指数运算了,$z^w = \exp(w Ln(z))$。这也是扩展,不是上述单值函数的延拓。例如,在复变函数论域里,指数运算,$1^{1/2} = \exp(Ln(1)/2) = \exp(ik\pi) = \{ 1, -1 \}$。一般来说这个指数的运算不再保持指数运算律了,只能看成一个多值的函数。不再有指数相加律和指数相乘律了,$z^wz^v, \;\; (z^w)^v$ 未必对应有$z^{w+v}, \;\; z^{wv}$了,例如 $-1 =e^{i\pi + i2k\pi} \neq (e^{2(i\pi + i2k\pi)})^{1/2} = 1^{1/2}=\{-1, 1\}$。它的意义在于对这个运算有定义,而且按指数运算律化简了计算所得的值,是直接运算结果集合值中一部分。
 
现在来看标题问句的答案。我们可以在复变函数论域里,有根据地按定义来计算了。
 
$i^i= \exp(i Ln i) = \exp(i (i\pi/2 + i2k\pi)) = \exp(-\pi/2 - 2k\pi)=\exp(-\pi/2) \exp(-2k\pi)$
 
它是0.207879576…乘上或除以任意多次535.4916555… 的一个可数无穷集合。篇首的答案0.207879576… 只是其中的一个数值。
 
好了,如果你们通读到此,相信这些初等数学的内容都不难理解。把知识变成自己的最好方法,是做几道习题。现在问你们。在复变函数的论域中,下面两个式子分别等多少?
 
$(-2)^{1/3}, \hspace{5 mm},  (-1)^i$
 
请写出不可约5次代数方程 $x^5+2=0$ 的根式解?
 
(把你们的解答放在评论里,我的答案后天附在下面)
 
 
 
【答案】
 
$(-2)^{1/3} = \exp(Ln(-2)/3) = \{-\sqrt[3]{2}, \;\;\; \sqrt[3]{2}(1/2 -i\sqrt{3}/2),  \;\;\; \sqrt[3]{2}(1/2 + i\sqrt{3}/2) \}$
 
$ (-1)^i = \exp(iLn(-1))= e^{-\pi+2k\pi} = 0.043213918  \times  535.4916555^k$
 
有理数域不可约5次方程 $x^5+2=0$,它的根式解是:
 
$x_0 = -\sqrt[5]{2}$
 
$x_1  = -\sqrt[5]{2}((\sqrt{5}-1)/4+ i \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4), \;\;\; x_2  =-\sqrt[5]{2}(-(\sqrt{5}+1)/4 + i \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4) $
 
$x_3 = -\sqrt[5]{2}(-(\sqrt{5}+1)/4 - i \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4),\;\;\; x_4  = -\sqrt[5]{2}((\sqrt{5}-1)/4- i \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4),$
 
这是怎么得来的?其实很简单,在复变函数论域计算 $(-2)^{1/5}$, 也可以直接根据棣莫弗公式有:
 
$x_n = -\sqrt[5]{2}(\cos(2n\pi/5) +i\sin(2n\pi/5)), \;\;\; n=0,1,2,3,4$
 
计算$\sqrt[5]{2}=1.148698355...$,根据三角公式可以推出这特殊角的正余弦的根式和数值,
 
$\cos(2\pi/5)=(\sqrt{5}-1)/4= 0.309016994...$,
 
$\sin(2\pi/5)=\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4= 0.951056516...$,
 
$\cos(\pi/5)=(\sqrt{5}+1)/4= 0.809016994…$
 
$\sin(\pi/5)=\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4=  0.587785252...$
 
Avatar_small
MTNL Duplicate Bill 说:
2022年8月09日 00:24

Mahanagar Telecom Nigam Limited does give a variety of options to its customers which can be availed online for MTNL Mumbai bill payment and for a plan change through the dedicated portal which customers of the zone can easily track their bills and service records. MTNL Duplicate Bill It makes it easy for customers to track their dues and as well select a better plan in future days, and the switching of plans is far east through the Online MTNL Mumbai web portal, which just changes your plan and gives you the latest bill generated as the due amount.


登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter