i的i次方等于多少? - Eufisky - The lost book
史济怀复变习题解答
两个奇怪的积分

i的i次方等于多少?

Eufisky posted @ 2015年9月24日 01:08 in 复分析 with tags 复数 , 3654 阅读
写了三篇δ函数的博文后,现在来点轻松的。别以为是说“爱的爱次方等多少”。理科男在这里,还没想到这样浪漫的事,其实是谈初等数学,这里i是虚数符号,问:$i^i = ?$
 
这原是我在高中上了复数课后,写来考同学玩的。欧拉公式还记得吗?$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$,我们知道 $e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=i$,代入不难算出 $i^i =(e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576…$,套公式而已,简单到没难度,结论匪夷所思。大约两百多年前的数学家,以至现在的物理学者和工程师,都喜欢这种用公式推导的创意。只是对学多数学的人,再看就会纠结。数学的严谨性说多了让人烦,所以都自觉地不啰嗦了。
 
前不久,有个解5次方程的爱好者,在科学网群组上分享他的成果,又给我留言,就进去逛一下。看到两个爱好者,在哪儿交流根式解的心得,一个宣称“如不能仅引进2次根式得解,负数的高于2次的根式,就只能是另外的,既非实数也非虚数或复数的其它数类!”,说“$(-3)^{1/5}$ 就既非实数也非虚数或复数!”这问题就比较有趣了。本来用棣莫弗公式或欧拉公式,直接能给出答案。不过就此聊点数域扩充和运算延拓的话题,比起辅导中学代数,多少还是有点技术含量。这值得写篇博文与大家分享。
 
在数学发展史上,常将一些运算推行到其他的数,且希望保持原有运算结果和性质,这叫延拓。这时运算的结果,也许不能都用已有的数类来表达,就需要将数类扩充,以保持运算的封闭性。历史上数类经历过了几次的扩充。例如,一直到了15世纪,0 和负数才被西方认同。在这之前的数都是正数,减法只对被减数大于减数时才有意义,将加减法运算推广到所有的数,就需要引入 0 和负数,以保持对运算的封闭性。无理数被引入,是来保证毕达哥斯定理正确性。引入复数为保证代数方程有解。包含超越数的实数,因无穷数列收敛的完备性而定义。现在我们知道,数 x 的整数 n 次方,定义为 x 自乘 n 次。问在已知的数类中,能否有一个数记为 $x^{1/n}$,使得它的 n 次方等于 x?
 
如果x是个正数,这个并不难回答。存在着已知的算法可以精确计算到任何位数的一个正实数,记为 $\sqrt[n]{x}$,这称为实数开 n 次方的主根(principal root),或称为算术根。x 是 0,答案是 0;x 是负数,当 n 为奇数时,答案是负实数 $-\sqrt[n]{|x|}$。这里$\sqrt[n]{x}$ 是 n 为参数,正实数域上的正实数值函数,称为 n 次根式。当n是偶数,x是负数时,则需要扩充到复数来满足,特别地,定义负数变量开2次方函数$\sqrt{x}=i\sqrt{|x|}$。
 
因为根式是有已知算法的单值函数,所以人们希望代数方程解能用它来表达。但对四次以上方程一般是不可能的。代数方程的解用它的系数加以根式符号和四则运算来表达,称为根式解。比如说,$x^2=2$,它的根表达为:$x_1=\sqrt{2}, \;\;  x_2=-\sqrt{2}$,韦达定理说二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根式解是:
 
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,这是我们从初中就开始熟悉的概念。
 
好了,有了这些大家中学都已烂熟的知识,我们就可以运用公式推导来创造奇迹!比如说你导公式得到下面两个等式:
 
$i= (-1)^{1/2} = ((-1)(-1)(-1))^{1/2} =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=iii=-i$,
 
$-1=(-1)^1 = ((-1)^2)^{1/2}=1^{1/2}=1$。
 
如果你还比较淡定,不信这么容易就能震惊世界,就会自省一下错在哪里。这除了上面重申过的约定外,就是用了从中学就熟知的指数运算律。对于指数运算 $x^y$,有指数分配律 $(xy)^z = x^zy^z$,指数相乘律 $(x^y)^z = x^{yz}$,指数相加律 $x^yx^z = x^{y+z}$,这里分别用了前两个,有问题吗?
 
有!尽管指数运算,与加减乘除四则运算一样的基本,我们在各种公式推导中都毫不经意地运用他们,其实并没有证明过它们的运算律适用于这里。在上面悖论等式中,其实 $ ((-1)(-1)(-1))^{1/2} \neq (-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}, \;\;\; (-1)^1\neq ((-1)^2)^{1/2}$。
 
我们必须认真研究一下,这指数运算律的适用范围了。
 
最初 $x^n$ 指 n 是正整数,它意思是正实数 x 自乘 n 次。由这定义推算,就有了指数运算律。对它们是其他数的适用性还需要证明。先看一下,怎么从这自乘开始,延拓这个运算的。
 
把正整数n固定,$x^n$  仍然定义成 x 自乘 n 次,这叫幂函数。可以把幂函数自变量x的定义域延拓到复数域,定义 $x^0=1 , \;\; x^{-n}=1/x^n $,同样直接从定义就能证明非0复数的整数幂函数满足指数运算律。从上面悖论等式看到,指数运算律不适用于分数幂函数。所以这方向的拓展到此为止。
 
把指数运算 $x^y$ 中的 x 固定,限定为正实数,写成参数 a,式子 $a^y$ 称为 a 为底的指数函数。定义 $a^0=1 , \;\; a^{-n}=1/a^n $,定义 $a^{1/n}$ 为 $a^n$  的主根。从 y 为正整数开始,应用指数运算律和极限运算,可以把正实数底a的指数函数 $a^y$,自变量 y 的定义域,从正整数延拓到实数。它也满足全部的指数运算律。这时它的值域也是正实数,当底数 a 不是 1 时,这函数是单调的,反函数存在,把它记为 $\log_a(\cdot)$,这个对数函数定义域是正实数,参数 a 为非 1 的正实数,值域是实数。我们有关系式 $y=\log_a(a^y)$。记 $\ln(\cdot)=\log_e(\cdot)$,当 x 是正实数,y 是实数时,指数运算可以表示为 e 的指数函数的形式:$x^y= e^{y\ln x}$,它们满足指数运算律。这些都是熟知的中学代数的内容。
 
它们已是满足指数运算律的幂函数和指数函数能够拓展的极限了。所以二元的指数运算 $x^y$ 只有 x 的定义域为正实数,y 的定义域为实数时,得值是正实数,才有指数运算律。当我们企图把二元的指数运算中x变量的定义域延拓到正实数之外时,我们遇到了麻烦。其一是 $(-1)^{1/2}$ 在实数值域上没有对应值。这在历史上已经解决,它的处理是大家熟知的,把数域扩展到复数域,记虚数符 $i = \sqrt{-1}$,但一切也只到此为止。我们甚至无法在指数函数 $(-1)^y$ 中,把 y  整数变量的定义域延拓到整数的倒数,前面已看到它无法满足指数分配律和相乘律。此路不通了。
 
把 x 的 n 次幂的定义域延拓到包括负数与复数,所遇到问题的本质是在这定义域中,n 次方不是个一一映射,几个不同自变量值可能对应于同一个函数值,当我们企图将逆运算限制在某个分支的根,例如用主根,来定义 $x^{1/n}$ 时,指数分配律和指数相乘律,都可能让不同分支的根在自乘中等同起来。这产生了矛盾。
 
不再拘于指数运算律了,看看我们能否对其中的一元函数再作任何延拓。
 
前面说过复数的整数幂都有定义,并满足指数运算律。所以幂级数 $\sum_{n=0}^\infty x^n/n!$ 的每一项都有定义,它对实数 x 收敛于一个实数,对复数 x 收敛于一个复数,由此定义可以定义函数 exp(x)。可以证明它满足指数相加律 $\exp(x)exp(y) = \exp(x+y)$。不难证明它是唯一符合微分方程 df(x)/dx = f(x)  和初始条件 f(0)=1 的解。所以它在 x 为实数时是已知的指数函数 $e^x$,在 x 为复数时也称为指数函数,用相同的表示法,由欧拉公式有 $z=x +iy,\;\; e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$.
 
这个定义域为复数的指数函数,满足指数分配律和指数相乘律吗?对指数为整数 n 时尚可,$(\exp(z)exp(w))^n=\exp(z)^n \exp(w)^n, \;\;\; \exp(z)^n=\exp(nz)$,其他则不能。因为底 a 不是 e 的指数函数  $a^z$,在复数域都还没有定义。可以证明无论怎样定义,按指数分配律和指数相乘律计算都会引起矛盾。
 
这么说,我们前面套公式得到 $i^i = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = 0.207879576…$,是胡整了?起码在 $(e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2}$ 这一步用到的指数相乘律是没有根据的。
 
在复变函数的论域中,改变了传统上函数是单值的和等式是两边的数值相等的定义,给这问题新的答案。前面指数运算进一步扩展的问题在于,扩展定义域相当于扩展逆运算的值域,如果扩展后不再是一一的映射,那么它的逆运算对应的是一个多值的集合。
 
在复变函数论域中,我们可以允许函数是多值的,其值表示为一个集合,两个集合间的运算,定义为分别在两个集合里选取每个元素进行计算,其函数值是所有可能运算结果的集合。等式“=”定义为两边的集合相等。
 
好,我们来看,这带来什么不同。复数z可以用极坐标来表示 $z=r(\cos\theta + i\sin\theta)$,这个表示式不是唯一的。所以它的逆运算,即绝对值运算  |z| = r  还是通常的单值函数;但幅角 $Arg(z) = \theta + 2k\pi$,这里k是任意的整数(此后不再赘述),这是一个多值函数,对应的数值是一个可数的无穷集合。由欧拉公式,这个表示式可以写成  $z = |z|e^{iArg(z)}$,这又成单值的等式了。由此可以定义复数指数函数的反函数 $Ln(z) = \ln |z| + i Arg(z)$,这是将对数函数 ln z  扩展到复数域上的多值函数。注意,它不是延拓,延拓要保持原有变量和函数值的对应不变,将定义域扩展到没有定义的地方。而这函数当变量是正实数时,并不等于相应的对数值,而是包括着它的一个集合。例如 $\ln 1 = 0,  \;\; Ln 1 = 2k\pi = \{…,-6\pi, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, 6\pi, …\}$。但以此我们可以定义复数域上的指数运算了,$z^w = \exp(w Ln(z))$。这也是扩展,不是上述单值函数的延拓。例如,在复变函数论域里,指数运算,$1^{1/2} = \exp(Ln(1)/2) = \exp(ik\pi) = \{ 1, -1 \}$。一般来说这个指数的运算不再保持指数运算律了,只能看成一个多值的函数。不再有指数相加律和指数相乘律了,$z^wz^v, \;\; (z^w)^v$ 未必对应有$z^{w+v}, \;\; z^{wv}$了,例如 $-1 =e^{i\pi + i2k\pi} \neq (e^{2(i\pi + i2k\pi)})^{1/2} = 1^{1/2}=\{-1, 1\}$。它的意义在于对这个运算有定义,而且按指数运算律化简了计算所得的值,是直接运算结果集合值中一部分。
 
现在来看标题问句的答案。我们可以在复变函数论域里,有根据地按定义来计算了。
 
$i^i= \exp(i Ln i) = \exp(i (i\pi/2 + i2k\pi)) = \exp(-\pi/2 - 2k\pi)=\exp(-\pi/2) \exp(-2k\pi)$
 
它是0.207879576…乘上或除以任意多次535.4916555… 的一个可数无穷集合。篇首的答案0.207879576… 只是其中的一个数值。
 
好了,如果你们通读到此,相信这些初等数学的内容都不难理解。把知识变成自己的最好方法,是做几道习题。现在问你们。在复变函数的论域中,下面两个式子分别等多少?
 
$(-2)^{1/3}, \hspace{5 mm},  (-1)^i$
 
请写出不可约5次代数方程 $x^5+2=0$ 的根式解?
 
(把你们的解答放在评论里,我的答案后天附在下面)
 
 
 
【答案】
 
$(-2)^{1/3} = \exp(Ln(-2)/3) = \{-\sqrt[3]{2}, \;\;\; \sqrt[3]{2}(1/2 -i\sqrt{3}/2),  \;\;\; \sqrt[3]{2}(1/2 + i\sqrt{3}/2) \}$
 
$ (-1)^i = \exp(iLn(-1))= e^{-\pi+2k\pi} = 0.043213918  \times  535.4916555^k$
 
有理数域不可约5次方程 $x^5+2=0$,它的根式解是:
 
$x_0 = -\sqrt[5]{2}$
 
$x_1  = -\sqrt[5]{2}((\sqrt{5}-1)/4+ i \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4), \;\;\; x_2  =-\sqrt[5]{2}(-(\sqrt{5}+1)/4 + i \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4) $
 
$x_3 = -\sqrt[5]{2}(-(\sqrt{5}+1)/4 - i \sqrt{10-2\sqrt{5}}/4),\;\;\; x_4  = -\sqrt[5]{2}((\sqrt{5}-1)/4- i \sqrt{10+2\sqrt{5}}/4),$
 
这是怎么得来的?其实很简单,在复变函数论域计算 $(-2)^{1/5}$, 也可以直接根据棣莫弗公式有:
 
$x_n = -\sqrt[5]{2}(\cos(2n\pi/5) +i\sin(2n\pi/5)), \;\;\; n=0,1,2,3,4$
 
计算$\sqrt[5]{2}=1.148698355...$,根据三角公式可以推出这特殊角的正余弦的根式和数值,
 
$\cos(2\pi/5)=(\sqrt{5}-1)/4= 0.309016994...$,
 
$\sin(2\pi/5)=\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4= 0.951056516...$,
 
$\cos(\pi/5)=(\sqrt{5}+1)/4= 0.809016994…$
 
$\sin(\pi/5)=\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4=  0.587785252...$
 
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MTNL Duplicate Bill 说:
2022年8月09日 00:24

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