Arnold:数学基本技艺测试100题 - Eufisky - The lost book
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关于$\pi$的级数

Arnold:数学基本技艺测试100题

Eufisky posted @ 2015年11月05日 02:35 in 数学大师 with tags 题集 , 4633 阅读
本文译自已故著名数学家V. I. Arnold的文章A Mathematical Trivium,原载《数学译林》1992年第4期,译者叶其孝、章梅荣。Arnold选取的这100个问题很难,这本书第六章中提供了各个问题的解答提示与评论。
 
 
数学修养的水准正在下降;从我们的大学(包括莫斯科大学的力学数学系在内)毕业的大学生和研究生正变得比他们的教授和教师更缺乏知识。导致这种不正常现象的原因是什么呢?根据知识传授的一般原理,在正常条件下,学生们应该比他们的教授更了解他们的学科(课程),这个原理说:新知识的流行并不是因为年长的人在教它,而是因为懂得这种新知识的年轻一代的出现。
 
 
在引起这种不正常现象的诸多因素中,我想挑出几个我认为我们自己应承担责任的因素,以便我们在力所能及的范围内消除它们。我认为,一个重要因素来自于我们的考试系统。它是为系统地生产没用的学生而专门设计的,这些学生像学习马克思主义那样来学习数学:他们的头脑中塞满了公式,死记硬背了考试中最常考的问题的答案。
 
 
如何度量数学家的教学水平呢?衡量这个水平的尺子既不是列出的课程也不是教学大纲。测定我们真正教给了学生什么东西的唯一方法是列出一串问题,一串学生由于接受了教育从而应该能够解决的问题。
 
 
这里所说的不是各种困难的问题,而是构成最低限度内必要知识的简单问题。不一定要有许多这样的问题,但是我们必须要求学生能够解答这些问题。I. E. Tamm过去常常讲下述故事,在国内战争期间他曾落入马诺赫夫人手中,审问中他交代自己在物理数学系教学。为测试他是否诚实,他被要求解决级数理论中的一个问题,Tamm经受住了考验,救了自己一命。我们的大学生都应准备好去接受这样的严峻考验。
 
 
在全世界数学考试都有笔试。大家公认为,笔试就像从几个竞选人中间进行选举是民主社会的必要标志一样。事实上,在口试时,学生完全不能保护自己。当我在莫斯科大学力学数学系微分方程教研室指导考试时,无意中听到旁边办公桌的主考教师竟然让做出完美回答的学生不及格(这些解答或许还超过了教师的理解水平)。主考人故意让学生不及格的案例也是有的,有时我就走进教室挽救这种局面。
 
 
笔试是一种记实文件,主考人不得不客观地评分(特别是当试卷是匿名的情况,试卷本应该密封)。笔试的另一个相当重要的优点是:考题可以留下来,可以出版或传给下一届的学生准备考试之用。此外,这些问题在测定了学生掌握课程的水准的同时也测定了汇编这些问题的教师的水准。由此可以立即看出教学的强项和不足,而专家们也能根据教师想教给学生的内容以及教会了学生的是什么来评定教师的教学水平。
 
 
顺便说一句,法国全国数学竞赛(和国际奥林匹克数学竞赛差不多并且面向全国)的考题是由全国各地的教师编的,教师们先把编拟的题目寄到巴黎,再从中筛选出比较好的题目。通过先比较教师们编拟的题目再进一步比较他们所教学生在竞赛中的成绩,教育部就得到了关于这些教师的水平的客观数据。然而,在俄罗斯这里,众所周知,评估一个教师是根据诸如他们的外在表现,诸如讲课的快慢以及思想体系的“正确性”等等来进行的。
 
 
所以,一点也不必惊讶,人家不愿意承认我们的文凭(我想将来还要扩展到数学系的文凭)。由无记录的口试得到的评定不可能客观地与其他任何评定相比较。这种评定只有一个极其模糊而且是相对的衡量标准,它完全取决于该大学的实际教学水平以及他们所设定的要求。遵循同样的教学大纲并且分数也一样的不同大学的毕业生的知识和能力(在某种意义下)竟可以相差十倍。此外,口试很容易被嫉妒歪曲。这种例子曾在莫斯科大学出现过,正如该系一位缺乏识别能力的教师曾经说过的,只要学生的回答“非常接近教科书”,即便他一个问题也解答不出,也要给他好分数。
 
 
我们的数学教育制度的本质和缺点已经由Richard Feynman在他的回忆录《别逗了,费曼先生》关于巴西的物理教育一章中鲜明地描述过了。用Feynman的话来说,这些学生什么也不懂,但他们从来不提问,因而他们显得似乎什么都懂。如果有个学生开始提问,那么他的课很快会处于如下境地,好像是在白白浪费口述讲义的教师和抄写笔记的学生的时间。结果是,没有一个学生能够把教给他们的东西应用到一个具体例子上去。考试(类似于我们的教条主义的考试:叙述定义,叙述定理)也总是能顺利通过。学生达到了“自动传播伪教育”的状态,而且用同样的方式来教下一代学生。但是,所有这些活动完全没有意义。事实上,我们造就出来的专家在很大程度上是一种欺骗,错觉和赝品:这些所谓的专家既不能解决最简单的具体问题,更不具备应有的专业基础。
 
 
因此,为了结束这种状态,我们不仅要指出一串定理,还要给出一组学生应该能够解决的问题。(这组问题应该每年发表,我想每门课程至少应该有十个问题。)然后我们将看到我们真正教给学生的是什么以及我们究竟取得了多大的成功。为了使学生学会应用所学的知识,所有的考试必须是笔试。
 
 
当然,问题将随学校的不同而不同,每年也会不同。这样一来,不同学校的教师和不同年份的毕业生的水平就可以进行比较了。如果一个学生在计算 的平均值(误差在 %以内)时远远超出了五分钟,那么即使他学过非标准分析,泛代数,超流形或嵌入定理,也不能说他掌握了数学。
 
 
模型问题的汇编是一项费力的工作,但我认为必须做。作为一个尝试,下面我给出了构成对物理专业学生的最基本要求的100个数学问题。模型问题不是唯一确定的,而且很多人的看法可能与我不一致。不过,我认为,开始采用笔试和模型问题的手段来决定数学要求的水准是必要的。我希望,将来的学生在每学期开始时就能得到每门课程的模型问题,而且,要让学生塞满东西的口试一去不复返。
 
 
微积分
 
 
1. 随手画一条曲线,试画出其导函数与原函数的图像。
 
 
2. 计算
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\tan{x})-\tan(\sin{x})}{\arcsin(\arctan{x})-\arctan(\arcsin{x})}.$$
 
3. 求出映射$z\mapsto,z^2+2\overline{z}$的临界点和临界值,并用图表示出来。
 
 
4. 计算函数$\frac{x^2+1}{x^3-x}$的第$100$阶导数。
 
 
5. 计算函数$\frac{1}{x^2+3x+2}$在$x=0$处的第$100$阶导数值(相对误差小于$10\%$)。
 
 
6. 在$(x,y)$平面上画出参数曲线
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} x&=2t-4t^3 \\ y&=t^2-3t^4 \end{aligned} \right. \end{equation*}
的图像。
 
 
7. 从平面上一定点至多可以引多少条给定椭圆的法线?讨论在什么区域中,法线的条数最多。
 
 
8. 函数$x^4+y^4+z^4+u^4+v^4$在曲面
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x+y+z+u+v=0 \\ &x^2+y^2+z^2+u^2+v^2=1\\ &x^3+y^3+z^3+u^3+v^3=C \end{aligned} \right. \end{equation*}
上的极大点,极小点和鞍点各有多少?
 
 
9. 是否所有正值的二元实多项式在平面上一定达到它的下界?
 
 
10. 研究方程
$$x^5+x^2y^2=y^6$$
的解$y=y(x)$在$x\to 0$时的渐近行为。
 
 
11. 研究积分
$$\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{1}{1+x^4y^4}\text{d}x\text{d}y$$
的收敛性。
 
 
12. 求向量场$\frac{\textbf{r}}{r^3}$通过曲面$(x-1)^2+y^2+z^2=2$的通量。
 
 
13. 计算
$$\int_1^{10}x^x\mathrm{d}x,$$
相对误差至多为$5\%$。
 
 
14. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}(x^4+4x+4)^{-100}\mathrm{d}x,$$
相对误差至多为$10\%$。
 
 
15. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(100(x^4-x))\mathrm{d}x,$$
相对误差至多为$10\%$。
 
 
16. 一个$5$维立方体,它的内接球的体积占立方体的体积多少比例?对$10$维立方体呢?
 
 
17. 求出半径为$1$的$100$维均匀半球体其重心到球心的距离(相对误差不超过$10\%$)。
 
 
18. 计算
$$\iint_{\mathbb{R}^n}\exp{\Bigl(-\sum_{1\leq,i<j\leq,n}x_ix_j\Bigr)}\text{d}x_1\cdots,\mathrm{d}x_n.$$
 
19. 利用斯涅尔定律研究光线在折射率为$n(y)=y^4-y^2+1$的平面介质中的路径。(斯涅尔定律即光的折射定律,光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射,其中入射光线、折射光线与法线位于同一个平面上,并且与界面法线的夹角满足如下关系:
$n(y)\sin\alpha=\mbox{常数}$,其中$\alpha$是光线与法线$y$轴的夹角。)
 
 
微分方程与动力系统
 
 
20. 设函数$x=x(a,t)$是含参数$a$的方程$\ddot{x}=x+a\dot{x}$在初始条件$x(0)=1,\dot{x}(0)=0$下的解,求$x(a,t)$在参数$a=0$处关于$a$的偏导数。
 
 
21. 设函数$x=x(a,t)$是方程$\ddot{x}=\dot{x}^2+x^3$在初始条件$x(0)=0,,\dot{x}(0)=a$下的解,求$x(a,t)$在参数$a=0$处关于$a$的偏导数。
 
 
22. 在方程$\dddot{x}+a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$的系数空间中,研究稳定性区域$(\max\{{\rm Re}\lambda_j\}<0)$的边界。
 
 
23. 求解拟齐次方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x+\frac{x^3}{y}.$$
 
24. 求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$。
 
 
25. 渐近稳定的平衡位置能否在线性化下变成李雅普诺夫意义下不稳定的?
 
 
26. 研究方程组
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \dot{x}&=y \\ \dot{y}&=2\sin{y}-y-x \end{aligned} \right. \end{equation*}
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \dot{x}&=y \\ \dot{y}&=2x-x^3-x^2-\varepsilon,y \end{aligned} \right.\qquad (\varepsilon\ll1) \end{equation*}
的解在$t\to+\infty$时的性态。
 
 
27. 在$(x,E)$平面上画出方程
$$\ddot{x}=F(x)-k\dot{x}.$$
$F(x)=-\mathrm{d}U/\mathrm{d}x$的解在势能$U$的非退化临界点附近的图像,其中$E=\dot{x}^2/2+U(x)$是总能量。
 
 
28. 讨论参数方程
$$\dot{z}=\varepsilon,z-(1+i)z|z|^2+\overline{z}^4$$
的解关于复参数$\varepsilon$在$\varepsilon=0$附近的变化性态,并画出其相图。
 
 
29. 一个电荷在一垂直于平面的强磁场$B(x,y)$作用下以速度1在平面上运动。试问,其拉莫尔圆周的中心将朝哪边运动,
计算出其移动的速度(至少一阶近似)。(数学上这是关于曲率NB的曲线,其中$N\to\infty$。)
 
 
30. 求向量场$z$, $\mapsto,z\bar{z}^2+z^4+2\bar{z}^4$除$z=0$之外的奇点的指标的和。
 
 
31. 求向量场$U(x,y,z)=(x^4+y^4+z^4,,x^3y-xy^3,,xyz^2)$在奇点$(x,y,z)=(0,0,0)$处的指标。
 
 
32. 求向量场$U(x,y,z)={\rm grad}(xy+yz+zx)$在奇点$(x,y,z)=(0,0,0)$处的指标。
 
 
33. 求出小振动方程
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \ddot{x}&=-4x \\ \ddot{y}&=-9y \end{aligned} \right. \end{equation*}
的相轨道在一个等能面上的连接系数。
 
 
微分几何与微分拓扑
 
 
34. 研究曲线$y=x^3$在射影平面上的奇点。
 
 
35. 画出曲面$(x^2+y^2-2)^2+z^2=1$的测地线。
 
 
36. 画出立方抛物线$y=x^3$的渐伸线。(以弧长$s$为参数的曲线${r}={r}(s)$的渐伸线是${r}(s)+(c-s){\dot{r}}(s)$的点的轨迹,$c$是常数。)
 
 
37. 证明,在欧氏空间$E^n$中通过点$x_0$且对应于不同$\lambda$值的曲面族
$$\langle(A-\lambda,E)^{-1}X,,X\rangle=1$$
两两正交,其中$A$是只有单重特征值的实对称矩阵。
 
 
38. 计算曲面
$$(x^2+y^2-1)(2x^2+3y^2-1)+z^4=0$$
的高斯曲率的积分。
 
 
39. 计算高斯积分
$$\oint\frac{(\mathrm{d}{A},\mathrm{d}{B},{A}-{B})}{|{A}-{B}|^3},$$
其中${A}$沿曲线$x=\cos\alpha,,y=\sin\alpha,,z=0$走,而${B}$沿曲线$x=2\cos^2\beta,,y=\frac{1}{2}\sin\beta,,z=\sin2\beta$走。
 
 
40. 试求在列宁格勒(北纬$60$度)指向正北的向量沿闭纬线由西向东的平行移动。
 
 
41. 求出上半平面上的直线$y=1$在罗巴切夫斯基—庞加莱度量$\mathrm{d}s^2=(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2)/y^2$下的测地曲率。
 
 
42. 在罗巴切夫斯基平面上,一个三角形的三条中线是否交于一点?三条高线呢?
 
 
43. 求出$k+l$维线性空间中曲面
$$x_1^2+\cdots+x_k^2-y_1^2-\cdots-y_l^2=1$$
与点集
$$x_1^2+\cdots+x_k^2-y_1^2-\cdots-y_l^2\leq1$$
的贝蒂数。
 
 
44. 求出射影空间中曲面$x^2+y^2=1+z^2$的贝蒂数。对曲面$z=xy,z=x^2,z^2=x^2+y^2$考虑同样的问题。
 
 
45. 求出射影平面中曲面$x^4+y^4=1$的自相交数。
 
 
复分析与黎曼面
 
 
46. 将单位圆内部保角映射为第一象限。
 
 
47. 将单位圆的外部保角映射到给定椭圆的外部。
 
 
48. 将除去一段垂直于$x$轴的线段的上半平面保角映射到上半平面。
 
 
49. 计算
$$\oint_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{1+z^{10}}}.$$
 
50. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ikx}}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$
 
51. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}\frac{1-e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x.$$
 
52. 计算出当$k\to+\infty$时,积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ikx}}{\sqrt{1+x^{2n}}}\mathrm{d}x$$
的渐近展开式中的第一项。
 
 
53. 研究微分形式$dx/y$在紧致黎曼面$y^2/2+U(x)=E$上的奇点,其中$U$是多项式,$E$是非临界值。
 
 
54. 对于系统$\ddot{x}=3x-x^3-1$,在具有相同能量值的情况下,哪一个势阱(较深的还是较浅的)具有较大的振荡周期?
 
 
55. 研究反正切函数$w=\arctan{z}$的黎曼曲面的拓扑性质。
 
 
56. 函数$w=\sqrt{1+z^n}$的黎曼面有多少个洞?
 
 
57. 求出下列问题的解空间的维数:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial,u}{\partial,z}=\delta(z-i)\qquad &{\rm Im}(z)>0 \\ &{\rm Im}[u(z)]=0\qquad &{\rm Im}(z)=0\\ &\lim_{z\to\infty}u(z)=0& \end{aligned} \right. \end{equation*}
 
58. 求出下列问题的解空间的维数:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial,u}{\partial,\overline{z}}=a\delta(z-i)+b\delta(z+i)\qquad &|z|<2 \\ &{\rm Im}[u(z)]=0\qquad& |z|=2 \end{aligned} \right. \end{equation*}
 
调和函数与偏微分方程
 
 
59. 研究问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &yu_x-xu_y=0 \\ &u(1,y)=\cos{y} \end{aligned} \right. \end{equation*}
在点$(1,y_0)$附近的解的存在性和唯一性。
 
 
60. 柯西问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x(x^2+y^2)u_x+y^3u_y=0 \\ &u(x,0)=1 \end{aligned} \right. \end{equation*}
在$x$轴上的点$(x_0,0)$附近的解是否存在唯一?
 
 
61. 使得问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &uu_x+u_y=\sin{x} \\ &u(x,0)=0 \end{aligned} \right. \end{equation*}
的解可以延伸到区间$[0,t)$上的$t$的最大值是多少?
 
 
62. 求出方程
$$yu_x-(\sin{x})u_y=u^2$$
在点$(0,0)$附近的全部解。
 
 
63. 柯西问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &yu_x+(\sin{x})u_y=y \\ &u(0,y)=y^4 \end{aligned} \right. \end{equation*}
在全平面上的解是否存在,是否唯一?
 
 
64. 柯西问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u(x,x^2)=1 \\ &(\nabla,u)^2=1 \end{aligned} \right. \end{equation*}
在区域$y\geq{x^2}$上是否有光滑解?在区域$y\leq{x^2}$上呢?
 
 
65. 求函数$\ln{r}$在圆周$(x-a)^2+(y-b)^2$上的平均值,并求出函数$1/r$在球面上的平均值。
 
 
66. 求解狄利克雷问题
 
 
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\Delta,u=0\qquad & x^2+y^2<1 \\ &u=1\qquad &x^2+y^2=1,,y>0\\ &u=-1\qquad &x^2+y^2=1,,y<0 \end{aligned} \right. \end{equation*}
 
67. 诺伊曼问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \Delta u&=0\qquad x^2+y^2>1 \\ \frac{\partial u}{\partial n}&=0\qquad x^2+y^2=1 \end{aligned} \right. \end{equation*}
在$x^2+y^2\geq1$上的连续解的维数是多少?
 
 
68. 设
$$\mathcal{F}=\{u(x,y)|,u(x,y)\text{在单位圆内光滑且连续到边界},u(0)=0,u\text{在边界圆周上等于}1\},$$
求$\mathcal{F}$上的狄利克雷积分
$$D(u)=\iint_{x^2+y^2\leq1}\bigl(\frac{\partial,u}{\partial,x}\bigr)^2+\bigl(\frac{\partial,u}{\partial,y}\bigr)^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
的下确界。
 
 
69. 证明:以给定闭围道为基的立体角在围道外是角顶点的调和函数。
 
 
70. 计算从球面$x^2+y^2+(z-2)^2=1$上的点看平面$z=0$上的圆盘$x^2+y^2\leq1$的立体角的平均值。
 
 
71. 设在离空腔中心距离为$r$处有一电荷$q=1$。试计算空腔的导电边界$x^2+y^2+z^2=1$上的电荷密度。
 
 
72. 计算重力场在月球距离处的影响,精确到扁率$\varepsilon$的一阶近似。(假设地球的密度是均匀的。)
 
 
73. 有一个近乎球形的电容器$R=1+\varepsilon,f(\theta,\phi)$,求它的不完善性对其电容量的影响(估计到$\varepsilon$的一阶近似)。
 
 
74. 如果对于$0\leq,x\leq1$,函数$u(x,t)$满足
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_t-\Delta,u&=0 \\ u(x,0)&=x^2\\ u(x,x^2)&=x^2 \end{aligned} \right. \end{equation*}
画出$u(x,1)$的图像。
 
 
75. 由于温度的全年变换,某城市的土地冻结$2$米深。那么在同样振幅的一昼夜变换下,土地冻结多深?
 
 
76. 研究问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u_t+(u\sin{x})_x=\varepsilon,u_{xx} \\ &u(x,0)=1 \end{aligned} \qquad (\varepsilon\ll1)\right. \end{equation*}
的解在$t\to+\infty$时的行为。
 
 
77. 求拉普拉斯算子$\Delta=\rm{div,grad}$在欧氏空间$E^n$的半径为$R$的单位球面上的特征值及重数。
 
 
78. 求解柯西问题:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &A_{tt}=9A_{xx}-2B \\ &B_{tt}=6B_{xx}-2A\\ &A(x,0)=\cos{x}\\ &B(x,0)=0\\ &A_t(x,0)=0\\ &B_t(x,0)=0 \end{aligned} \right. \end{equation*}
 
79. 边界值问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u_{xx}+\lambda,u=\sin{x} \\ &u(0)=u(\pi)=0 \end{aligned} \right.\end{equation*}
有多少个解?
 
 
80. 求解方程
$$\int_0^1(x+y)^2u(x)\mathrm{d}x=\lambda,u(y)+1.$$
 
81. 求出算子$\frac{d^2}{dx^2}-1$的格林函数并求解下述方程
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x-y|}u(y)\mathrm{d}y=e^{-x^2}.$$
 
82. 对什么样的速度$c$,方程
$$u_t-u_{xx}=u-u^2$$
具有下述形式的行波解:$u=\phi(x-ct),\phi(-\infty)=1,\phi(+\infty)=0,,0\leq,u\leq1$。
 
 
83. 求出方程
$$u_t=u_{xxx}+uu_x$$
的具有下述形式的行波解:$u=\phi(x-ct),\phi(\pm\infty)=0$。
 
 
线性代数与有限群
 
 
84. $n$个变量的二次型
$$\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2$$
的标准型中有多少个正的,负的平方项?对
$$\sum_{i<j}x_ix_j$$
又如何?
 
 
85. 求椭球面
$$\sum_{i<j}x_ix_j=1$$
的各个主轴的长度。
 
 
86. 过立方体(正四面体、正二十面体)的中心作一条直线,使得各顶点到该直线的距离的平方和分别为最大和最小。
 
 
87. 求出椭球面$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1+\varepsilon xy$的半轴长对$\varepsilon$在$\varepsilon=0$处的导数。
 
 
88. 二维平面与无穷维立方体$|x_k|\leq1,\quad,k=1,2,\ldots$相交可以得到多少中可能的图形?
 
 
89. 计算$\mathbb{R}^3$中的向量积的和
$$[[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]].$$
 
 
90. 计算矩阵的换位子的和
$$[[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]].$$
 
 
91. 求出算子$e^{\frac{d}{dt}}$在拟多项式空间
$$V=\{e^{\lambda t}p(t),:,\lambda\in\mathbb{R},,p(t)\text{是不超过} $4$\text{次的实系数多项式}\}$$上的标准型。假如$A\in,M(n,\mathbb{C})$是对角阵,求$M(n,\mathbb{C})$上的算子
$${\rm ad}_A:X\mapsto[A,X]=AX-XB$$
的标准型。
 
 
92. 求出立方体(正四面体,正二十面体)的旋转子群的阶,并求出其正规子群。
 
 
93. 将定义在立方体顶点的复值函数的空间分别分解为关于它的对称群和旋转群的不可约不变子空间。
 
 
94. 将5维实线性空间分解为由基向量的循环排列生成的群的不可约不变子空间。
 
 
95. 将$x,y,z$的$5$次齐次多项式空间分解为关于旋转群$SO(3)$不变的不可约子空间。
 
 
随机问题
 
 
96. 电话交换台的$3600$个用户的每一户平均一小时呼唤一次,请问,在给定一秒钟内接到$5$次或者更多次呼唤的概率是多少?估计在$(i,i+1)$秒中平均的时间间隔是多少。
 
 
97. 假设一质点在正半轴$x\geq0$的整点上随机游走,向右走一步的概率为$a$,向左走一步的概率为$b$,其他情形停在原地不动(当$x=0$时,代替向左走的是停留在原地不动)。试求出定态概率分布,同时求出经过很长时间以后$x$与$x^2$的数学期望(假设初始位置在原点)。
 
 
98. 在“伸手指”的游戏中,$N$个人站成一圈,同时举起他们的右手,每个人张开若干手指头,数出所有张开的手指头,然后从某个固定的领头者开始循环数数,数到前面的总数时就停止,这个人就是赢家。试问,当N~是多大时,一个适当选取的$N/10$个人中包含一个赢家的概率至少是$0.9$?又,当$N\to\infty$时,领头者获胜的概率是多少?
 
 
99. 游戏者手里捏起一枚$10$戈比或$20$戈比的钢币,让他的搭档猜,如果他猜对了就赢得这枚钢币,否则就输$15$戈比。试问这个游戏公平吗?两个参加者的最佳混合策略是怎样的?
 
 
100. 将一个边长为1的立方体沿各向同性分布的投影的随机方向投影到平面上,求出投影面积的数学期望。
 

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