T大2016年直博考试试题
数学试题专用纸
2016年4月
一、i)设D为Rn上的一个区域f:D→Rn为连续可微映射.试叙述关于映射f的逆映射定理(包括条件和结论).
ii)试利用逆映射定理证明不存在从Rn到R1的连续可微的单射.
二、给定R3∖{0}上的向量场
→v=(x(x2+2y2+3z2)32,y(x2+2y2+3z2)32,z(x2+2y2+3z2)32).
记→n为R3中的单位球面S2的单位外法向量场.试求积分
∫S2→v⋅→ndσ.
三、设定义在R上周期为2π的函数f在区间(−π,π]上的取值为f(x)=x.
i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在R上一致收敛.
ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数∑n≥11n2的和.
四、设f(x)在单位圆盘|z|<1上解析,满足|f(z)|<1,并且f(α)=0,其中|α|<1.
1.试证明当|z|<1时成立|f(z)|≤|z−α1−¯αz|.
2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.
五、给定A∈Mn(C).令f(x)为其特征多项式, g(x)∈C[x]是一个整除f(x)的n−1次多项式.求g(A)可能的秩,并说明理由.
六、设V是复数域上的n维线性空间, σ为V上的一幂幺变换(即:存在正整数k使得σk=1V, 1V是V上的恒等变换).设W为V的σ−不变子空间.证明V中存在σ−不变子空间W′使得V=W⊕W′.
数学试题专用纸
2016年4月
一、设定义在D⊂R上的函数f在x0处解析,即存在δ>0使得可以将f在开区间I=(x0−δ,x0+δ)⊂D上展开成x−x0的幂级数.
1.试证明f在(x0−δ,x0+δ)的任意点处解析;
2.若f在I上不恒等于零.试证明f在I中的零点是孤立的,即对任一x1∈I,如果f(x1)=0,则存在x1的邻域J=(x1−ϵ,x1+ϵ)⊂I,使得f在J上只有x1一个零点.
二、试求由椭球面x22+y26+z227=1在第一象限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.
三、记S是球面x2+y2+z2=1的外侧.试利用Stokes定理计算下列积分∫Sxdy∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy(2x2+3y2+6z2)32.
四、设D是Rn中的一个区域, K是D中的一个紧集. f:D→Rn连续可微,满足f在K上是单射,且det在K上恒不为零.求证:存在D中包含K的开集U以及\mathbb{R}^n中包含f(K)的开集V,使得f:U\to V是微分同胚,且其逆f^{-1}连续可微.
五、设A,B是数域F上n阶方阵,满足AB-BA=aB,a\in F,且B不是幂零矩阵.试证明a=0.
六、已知X_1=(1,-2,1)^t,X_2=(-1,a,1)^t分别是3阶不可逆实对称矩阵A的属于特征值1,-1的特征向量,试求A.
七、假设V为一有限维向量空间, T:V\to V为一可对角化的线性变换.又设W\subset V为T的一个不变线性子空间.试证明T在W上的限制也是可对角化的.