T大2016年直博考试试题

数学试题专用纸

2016年4月

一、i)设$D$为$\mathbb{R}^n$上的一个区域$f:D\to \mathbb{R}^n$为连续可微映射.试叙述关于映射$f$的逆映射定理(包括条件和结论).

ii)试利用逆映射定理证明不存在从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^1$的连续可微的单射.

二、给定$\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$上的向量场

\[\overrightarrow v  = \left( {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{y}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{z}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right).\]

记$\overrightarrow n$为$\mathbb{R}^3$中的单位球面$S^2$的单位外法向量场.试求积分

\[\int_{S^2}\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n d\sigma.\]

三、设定义在$\mathbb{R}$上周期为$2\pi$的函数$f$在区间$(-\pi,\pi]$上的取值为$f(x)=x$.

i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在$\mathbb R$上一致收敛.

ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数$\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$的和.

四、设$f(x)$在单位圆盘$|z|<1$上解析,满足$|f(z)|<1$,并且$f(\alpha)=0$,其中$|\alpha|<1$.

1.试证明当$|z|<1$时成立\[\left| {f\left( z \right)} \right| \le \left| {\frac{{z - \alpha }}{{1 - \overline \alpha  z}}} \right|.\]

2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.

五、给定$A\in M_n(\mathbb C)$.令$f(x)$为其特征多项式, $g(x)\in \mathbb C [x]$是一个整除$f(x)$的$n-1$次多项式.求$g(A)$可能的秩,并说明理由.

六、设$V$是复数域上的$n$维线性空间, $\sigma$为$V$上的一幂幺变换(即:存在正整数$k$使得$\sigma^k=1_V$, $1_V$是$V$上的恒等变换).设$W$为$V$的$\sigma-$不变子空间.证明$V$中存在$\sigma-$不变子空间$W'$使得$V=W\oplus W'$.

数学试题专用纸

2016年4月

一、设定义在$D\subset \mathbb R$上的函数$f$在$x_0$处解析,即存在$\delta>0$使得可以将$f$在开区间$I=(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset D$上展开成$x-x_0$的幂级数.

1.试证明$f$在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$的任意点处解析;

2.若$f$在$I$上不恒等于零.试证明$f$在$I$中的零点是孤立的,即对任一$x_1\in I$,如果$f(x_1)=0$,则存在$x_1$的邻域$J=(x_1- \epsilon,x_1+\epsilon)\subset I$,使得$f$在$J$上只有$x_1$一个零点.

二、试求由椭球面$\frac{x^2}2+\frac{y^2}6+\frac{z^2}{27}=1$在第一象限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.

三、记$S$是球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧.试利用Stokes定理计算下列积分\[\int_S {\frac{{x\,dy \wedge dz + y\,dz \wedge dx + z\,dx \wedge dy}}{{{{\left( {2{x^2} + 3{y^2} + 6{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} .\]

四、设$D$是$\mathbb R^n$中的一个区域, $K$是$D$中的一个紧集. $f:D\to \mathbb{R}^n$连续可微,满足$f$在$K$上是单射,且$\det(f')$在$K$上恒不为零.求证:存在$D$中包含$K$的开集$U$以及$\mathbb{R}^n$中包含$f(K)$的开集$V$,使得$f:U\to V$是微分同胚,且其逆$f^{-1}$连续可微.

五、设$A,B$是数域$F$上$n$阶方阵,满足$AB-BA=aB,a\in F$,且$B$不是幂零矩阵.试证明$a=0$.

六、已知$X_1=(1,-2,1)^t,X_2=(-1,a,1)^t$分别是$3$阶不可逆实对称矩阵$A$的属于特征值$1,-1$的特征向量,试求$A$.

七、假设$V$为一有限维向量空间, $T:V\to V$为一可对角化的线性变换.又设$W\subset V$为$T$的一个不变线性子空间.试证明$T$在$W$上的限制也是可对角化的.