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T大2016年直博考试试题 - Eufisky - The lost book
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北京大学2016年直博考试试题

T大2016年直博考试试题

Eufisky posted @ 2016年4月07日 00:07 in 高校资源 with tags 直博 , 1406 阅读

数学试题专用纸

2016年4月

一、i)设DRn上的一个区域f:DRn为连续可微映射.试叙述关于映射f的逆映射定理(包括条件和结论).

ii)试利用逆映射定理证明不存在从RnR1的连续可微的单射.

二、给定R3{0}上的向量场

v=(x(x2+2y2+3z2)32,y(x2+2y2+3z2)32,z(x2+2y2+3z2)32).

nR3中的单位球面S2的单位外法向量场.试求积分

S2vndσ.

三、设定义在R上周期为2π的函数f在区间(π,π]上的取值为f(x)=x.

i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在R上一致收敛.

ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数n11n2的和.

四、设f(x)在单位圆盘|z|<1上解析,满足|f(z)|<1,并且f(α)=0,其中|α|<1.

1.试证明当|z|<1时成立|f(z)||zα1¯αz|.

2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.

五、给定AMn(C).令f(x)为其特征多项式, g(x)C[x]是一个整除f(x)n1次多项式.求g(A)可能的秩,并说明理由.

六、设V是复数域上的n维线性空间, σV上的一幂幺变换(即:存在正整数k使得σk=1V, 1VV上的恒等变换).设WVσ不变子空间.证明V中存在σ不变子空间W使得V=WW.


数学试题专用纸

2016年4月

一、设定义在DR上的函数fx0处解析,即存在δ>0使得可以将f在开区间I=(x0δ,x0+δ)D上展开成xx0的幂级数.

1.试证明f(x0δ,x0+δ)的任意点处解析;

2.若fI上不恒等于零.试证明fI中的零点是孤立的,即对任一x1I,如果f(x1)=0,则存在x1的邻域J=(x1ϵ,x1+ϵ)I,使得fJ上只有x1一个零点.

二、试求由椭球面x22+y26+z227=1在第一象限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.

三、记S是球面x2+y2+z2=1的外侧.试利用Stokes定理计算下列积分Sxdydz+ydzdx+zdxdy(2x2+3y2+6z2)32.

四、设DRn中的一个区域, KD中的一个紧集. f:DRn连续可微,满足fK上是单射,且detK上恒不为零.求证:存在D中包含K的开集U以及\mathbb{R}^n中包含f(K)的开集V,使得f:U\to V是微分同胚,且其逆f^{-1}连续可微.

五、设A,B是数域Fn阶方阵,满足AB-BA=aB,a\in F,且B不是幂零矩阵.试证明a=0.

六、已知X_1=(1,-2,1)^t,X_2=(-1,a,1)^t分别是3阶不可逆实对称矩阵A的属于特征值1,-1的特征向量,试求A.

七、假设V为一有限维向量空间, T:V\to V为一可对角化的线性变换.又设W\subset VT的一个不变线性子空间.试证明TW上的限制也是可对角化的.


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