北京大学2016年直博考试试题

北京大学数学科学学院

2016年直博生摸底考试试题

1.证明题(30分,每小题15分)

(1) 若$f(x)$在实轴上可导且$f'(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有一个零点.

(2) 若$f(x)$处处二阶可导且$f''(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有两个零点.

2.(30分)假设$\phi(x,y,z)$是原点$O$某个邻域上$C^\infty$函数,且$\phi,\phi_x,\phi_y,\phi_{xz},\phi_{yz}$在$O$点为$0$, $\phi_{xx},\phi_{yy}$在$O$点为$1$, $\phi_{xy}(O)=\frac12,\phi_{z}(O)=-\frac12$. $\phi(x,y,z)=0$的隐函数记为$z=z(x,y)$(已知$z(0,0)=0$).请讨论$z=z(x,y)$在$(0,0)$点附近的极值问题.

3.(40分)设$z=z(x,y)$是题2中的隐函数, $\Omega_\delta$是$(0,0)$点的$\delta$邻域,当$\delta$充分小时,证明如下极限存在并求之\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t\iint_{{\Omega _\delta }} {{e^{ - tz\left( {x,y} \right)}}\,dxdy} .\]

4.(20分)设$A$是一个$2$阶复方阵.考虑$2$阶复方阵的线性空间$M_2(\mathbb C)$上的线性变换

\[\phi_A:M_2(\mathbb C)\to M_2(\mathbb C);X \mapsto AX-XA.\]试确定$\dim (\ker (\phi_A))$的所有可能的取值.

5.（30分）对于有理数域$\mathbb Q$上的两个$n$阶方阵

试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$,使得$A=T^{-1}BT$.

6.(20分) $\mathbb R[x]$中有多项式$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$.试用系数$a_1,a_2,a_3,a_4$的关系式,给出$f(x)$能表达成某个不可约二次多项式$g(x)$之平方的充分必要条件.

7.(30分)欧氏平面上保定向的等距变换群的一个子群$G$,其中每一个非恒同的变换$g$都没有不动点,而且每一个平面上的点$p$在群$G$作用下得到的轨道(即点集$\{g(p)|g\in G\}$)若平面上都没有聚点.试证明$G$可以由一个或两个平移变换生成,即$G=\{n\alpha|n\in\mathbb Z\}$或$G=\{n\alpha+m\beta|n,m\in\mathbb Z\}$,其中$\mathbb Z$为整数集, $n,m$为任意整数, $\alpha,\beta$为线性无关的平移向量(也表示其对应的平移变换). $n\alpha+m\beta$即对应线性组合所表示的平移.