利用定积分证明组合恒等式 - Eufisky - The lost book
利用导数不等式进行数列求和估计
两道积分习题

利用定积分证明组合恒等式

Eufisky posted @ 2016年5月18日 02:55 in 数学分析 with tags 恒等式 , 973 阅读

利用定积分证明恒等式:

\[C_n^1 - \frac{1}{2}C_n^2 +  \cdots  + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}C_n^n = 1 + \frac{1}{2} +  \cdots  + \frac{1}{n}.\]


证.首先注意到\[{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{k}C_n^k{x^k}} } \right)^\prime } = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{{\left( { - x} \right)}^{k - 1}}}  = \frac{1}{{ - x}}\sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{{\left( { - x} \right)}^k}}  = \frac{1}{{ - x}}\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n} - 1} \right].\]

因此\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{k}C_n^k}  = \int_0^1 {\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^n} - 1}}{{ - x}}dx}  = \int_0^1 {\frac{{1 - {{\left( {1 - x} \right)}^n}}}{x}dx} .\]

因此

\begin{align*}\int_0^1 {\frac{{1 - {{\left( {1 - x} \right)}^n}}}{x}dx}&=\int_0^1 {\left[ {1 - {{\left( {1 - x} \right)}^n}} \right]d\left( {\ln x} \right)}  =  - n\int_0^1 {\ln x{{\left( {1 - x} \right)}^{n - 1}}dx} \\&=  - n\int_0^1 {{y^{n - 1}}\ln \left( {1 - y} \right)dy}  = n\int_0^1 {{y^{n - 1}}\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{y^k}}}{k}} dy}  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{n}{k}\int_0^1 {{y^{n + k - 1}}dy} } \\&= \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{n}{{k\left( {n + k} \right)}}}  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left[ {\frac{1}{k} - \frac{1}{{n + k}}} \right]}  = 1 + \frac{1}{2} +  \cdots  + \frac{1}{n}.\end{align*}

当我能解数学题时,表明我从阴影中走出来了。

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netflix tv8 说:
2023年7月14日 05:19

Netflix propose une gamme de films, d’émissions de télévision et de contenus originaux pour un abonnement mensuel raisonnable. Netflix peut être vu sur Smart TV, un appareil de diffusion en continu ou un système de jeu moderne doté d’une connectivité Internet. netflix tv8 Certains appareils nécessitent que vous activiez l’appareil avant de vous connecter. Ceci est habituel avec les nouveaux appareils ou ceux qui viennent de recevoir des modifications logicielles.

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CBSE 7th Class Syll 说:
2023年9月01日 23:28

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