中国科学技术大学2016年秋季博士资格考试试卷
中国科学技术大学
2016年秋季博士资格考试试卷
代数学
$1.$(40分)考虑形式幂级数环 $\mathbb{C}[[x]]=\{\,a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsb \mid a_i\in\mathbb{C}\,\}$ 考虑$2$阶全矩阵环 $R=M_2(\mathbb{C}[[x]])$．
(1) 证明$\mathbb{C}[[x]]$为 Noether 整环；
(2) 描述$\mathbb{C}[[x]]$全部的有限生成不可分解模，并给出论证；
(3) 给出环$R$全部的双边理想，并给出论证；
(4) 描述$R$上全部的有限生成不可分解左模，以及这些模的自同态环．
$2.$(40分)将Abel群与$\mathbb{Z}$-模等同起来，考虑Abel群$G=\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}$．
(1) 列出群$G$的全部子群，并给出论证；
(2) 将$G$的每个商群都分解成不可分解群的直和，并给出论证；
(3) 列出群$G$的全部直和项，并给出论证；
(4) 描述$G$的自同构群．
回顾：Abel群$G$的子群$A$称为直和项，若存在另一子群$B$满足$G=A+B$以及$A\cap B=\{0\}$．
$3.$(20分)具体给出代数同构
$$\mathbb{C}S_3 \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}\times\mathbb{C}\times M_2(\mathbb{C})\text{，}$$其中$\mathbb{C}S_3$为$S_3$的群代数；并给出相应的论证．
提示：利用不可约复表示．
分析学
$1.$设$f$是$\mathbb{R}^d$上的可积函数，对于任意的$\alpha > 0$，定义$E_\alpha=\{\,x\,\mid \left|{f(x)}\right|> \alpha\,\}$.证明：
$$\int_{\mathbb{R}^d} \left|{f(x)}\right|\,{\mathrm d}x= \int_0^\infty m(E_\alpha)\,{\mathrm d}\alpha\text{．}$$
$2.$设 $\mathbb{R}$ 上的可积函数 $f$ 和可积函数列 $f_n$ 满足
$$\int_{\mathbb{R}} \left|{f_n(x)-f(x)}\right|\,{\mathrm d}x \leqslant \frac1{n^2}\text{，}$$证明：$f_n\rightarrow f$ a.e. $x\in\mathbb{R}$．
$3.$设 $f(x)$ 在任一区间 $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$ 上都绝对连续，证明：对任意的 $y\in\mathbb{R}$，
$$\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}y}\int_a^b f(x+y)\,{\mathrm d}x= \int_a^b \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}y} f(x+y)\,{\mathrm d}x\text{．}$$
$4.$设对某个 $1<p<\infty$，$f_n\in L^p([0,1])$，$||f_n||_{L^p} \leqslant 1,\,\forall n$．如果 $f_n\rightarrow 0$ a.e.
证明：$f_n$ 在 $L^p([0,1])$ 中弱收敛到 $0$．
$5.$利用残数定理计算积分
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{{\mathrm e}^{ax}}{1+{\mathrm e}^x}\,{\mathrm d}x\text{．}$$
$6.$若函数 $f(x)$ 在区域 $0<|z-a|<R$ 内解析，且不恒为零，如果$f(x)$有一列异于$a$且以$a$为聚点的零点．
证明：$a$是 $f(z)$ 的本性奇点．
$7.$设单连通区域$\Omega$上的全纯函数列$f_n$在$\Omega$的任意紧集上一致收敛到函数$f$．
(a)证明：$f$ 是$\Omega$上的全纯函数，并且当$n\to\infty$时，$f_n^{(k)}$在$\Omega$的任意紧集上一致收敛到函数 $f^{(k)}$；
(b)设$$\sup_{n\geqslant 1} \#\{\,z\in\Omega \mid f(z)=w\,\}\leqslant N <\infty\text{，}$$
证明：在$\Omega$中或者 $f\equiv w$，或者$$\#\{\,z\in\Omega \mid f(z)=w\,\}\leqslant N\text{．}$$
$8.$令$V,W$ 是Banach空间，$B:V\times W\rightarrow \mathbb{C}$是关于每个变量都连续的双线性泛函，即对于任意的$\xi\in V$，$B(\xi,\cdot):W\rightarrow \mathbb{C}$是连续线性泛函以及对于任意的$\eta\in V$，$B(\cdot,\eta):V\rightarrow \mathbb{C}$是连续线性泛函．
证明：$B$ 是连续的．
$9.$设 $X$ 是自反的 Banach 空间，$M$ 是 $X$ 中的有界闭凸集．
证明：对于任意的 $f\in X^\ast$，$f$ 在 $X$ 上达到最大值与最小值．
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