国科大硕转博公共基础课考试试题
2016年9月17日，国科大举行硕转博公共基础课考试，试题分三个方向，考试满90分才算合格！
数学：三选二（公共基础部分）
分析
一、 求\[I=\int_0^{2\pi} \frac1{a+\cos\theta}d \theta,\quad a>1.\]
二、 设复变函数$f(z)$为整函数,且存在正整数$n$以及常数$R>0,M>0$,使得当$|z|>R$时,有$|f(z)|\leq M|z|^n$.试证明: $f(z)$是一个至多$n$次的多项式或一常数.
三、 陈述Lebesgue控制收敛定理并证明\[\lim_{n\to+\infty}\int_0^\infty\frac{\ln (x+n)}ne^{-x}\cos xd x=0.\]
四、 陈述开映射定理并证明:设$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是线性空间$X$上的两种范数,且使得$(X,\|\cdot\|_1)$和$(X,\|\cdot\|_2)$都是完备的.若存在常数$a>0$使得对任意$x\in X$,有$\|x\|_2\leq a\|x\|_1$,则一定存在常数$b>0$,使得对任意$x\in X$,有$\|x\|_1\leq b\|x\|_2$.
代数
一、 设$a$和$b$是群$G$的元素,阶数分别为$m$和$n$, $(m,n)=1$且$ab=ba$.证明$ab$的阶为$mn$.
二、 设$S_n$是$\{1,2,\cdots,n\}$上的$n$次对称群.证明:
1) $S=\{\sigma|\sigma\in S_n,\sigma (1)=1\}$是$S_n$的子群;
2) $\{(1),(1,2),(1,3),\cdots,(1,n)\}$组成$S$在$S_n$中的一个左陪集代表元素.
三、 设群$G$作用在集合$X$上.记$n$为$X$在$G$作用下的轨道个数,对任意$a\in X$,记$\Omega_a=\{ga|g\in G\}$是$a$所在的轨道, $Ga=\{g\in G|ga=a\}$为$a$的固定子群.对任意$g\in G$,记$f(g)$为$X$在$g$作用下的不动点个数.证明:
1) $b\in\Omega_a\Leftrightarrow \Omega_a=\Omega_b$;
2) 对任意$g\in G$,有$G_{ga}=gG_ag^{-1}$;
3) $\sum_{g\in G}f(g)=n|G|$.
四、 设$R,S$是环, $f:R\to S$是环的同态.证明同态核$\ker f$是环$R$的理想,并且映射
\begin{align*}F:R/\ker f&\to S\\\overline r&\mapsto f(r)\end{align*}
是环的单同态,特别地: $F:R/\ker f\to \mathrm{Im} f$是环的同构.
五、 证明多项式$x^2+x+1$与$x^3+x+1$在$\mathbb{Z}_2$上不可约,并求出有限域$\mathbb{Z}_2$上的全部三次不可约多项式.
几何拓扑
一、 在实数集$\mathbb{R}$上定义一个拓扑,使其包含$(0,2)$与$(1,3)$,且包含尽可能少的开集.
二、 设$X$是一个拓扑空间, $A$与$B$是$X$的子集, $\overline A$与$\overline B$分别为$A$与$B$的闭包.证明若$A\subset B$,则$\overline A\subset \overline B$.
三、 设$\{X_n\}$是具有标准拓扑的实数集$\mathbb{R}$中的数列,其中$x_n=\frac{(-1)^n}n$.
1) 证明每个含$0$的邻域都包含某个开区间$(-a,a)$;
2) 对任意的$a>0$,存在$N\in \mathbb{Z}^+$,使得当$n\geq N$时,有$x_n\in (-a,a)$.
四、 求$E^3$中曲线$r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$的曲率和挠率,其中$a$和$b$是不为$0$的常数.
五、求$E^3$中曲面$r(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$的高斯曲率和平均曲率.
系统科学、控制论（公共基础部分）
一、（50分）简述以下概念和原理：
(1) 对偶原理；
(2) 分离性原理；
(3) 最小实现；
(4) 平衡点；
(5) 渐进稳定性。
二、（20分）判断下述系统是否能控：
\[\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1&0&0\\0&{ - 1}&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\\{ - 1}\end{array}} \right]u.\]
三、（20分）判断下述系统是否能观测：
\[\left\{ \begin{array}{l}\dot x = Ax + bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\{ - 2}&{ - 4}&{ - 3}\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]u,\\y = cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&4&2\end{array}} \right]x.\end{array} \right.\]
四、（20分）判断下述系统的稳定性：
\[\left\{ \begin{array}{l}{{\dot x}_1} = {x_2},\\{{\dot x}_2} = - {x_1}.\end{array} \right.\]
五、（20分）证明线性系统能观测性在输出反馈下保持不变。
六、（20分）设开区域$D$满足$0\in D\subset \mathbb{R}^n$。考虑系统$$\dot x=f(x),$$其中$f:D\to \mathbb{R}^n$是局部李普希兹函数，并且$f(0)=0$。如果存在连续可微函数$V:D\to \mathbb{R}$满足
(i) 当$x\in D-\{0\}$时$V(x)>0$，且$V(0)=0$,
(ii) $\dot V(x)\leq 0,x\in D$,
证明$x=0$稳定。
统计学（公共基础部分）
一、（15分）数列$\{a_n\}$满足关系式$a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},a_1>0$.求证$\lim_{n\to\infty} n(a_n-n)$存在.
二、（15分）设$f(x)$在$(a,b)$内二次可导,且存在常数$\alpha,\beta$,使得对于$\forall x\in (a,b)$
$$f'(x)=\alpha f(x)+\beta f''(x),$$则$f(x)$在$(a,b)$内无穷次可导.
三、（15分）求幂级数$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1)^n$的收敛域与和函数.
四、（15分）设$f(x)$是$\mathbb{R}$上有下界或者有上界的连续函数且存在正数$a$使得$$f(x)+a\int_{x-1}^x f(t) dt$$为常数.求证: $f(x)$必为常数.
五、（15分）设$f(x,y)$在$x^2+y^2\leq 1$上有连续的二阶偏导数, $f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2\leq M$.若$f(0,0)=0,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$,证明$$\left |\iint_{x^2+y^2\leq 1}f(x,y)dxdy\right |\leq \frac{\pi\sqrt{M}}4. $$
六、（15分）已知\[A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right),\]求$A^{2016}$.
七、（15分）已知\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right),\]而$A^n=\alpha_nI+\beta_n A$.求$\alpha_n,\beta_n$.
八、 （15分）在$\mathbb{R}^4$中,$$\alpha=(1,1,-1,1),\beta=(1,-1,1,1),\gamma=(1,0,1,1),M=(\alpha,\beta,\gamma),$$求$M^\bot$的一组标准正交基.（数据忘记了）
九、（15分）已知线性空间$M=\{(x,y)|x-2y+z=0\}$,求$u=(1,2,3)'$在$M$上的正交投影.
十、 （15分）设$u,v\in \mathbb{R}^n$,若$u'u=v'v$,证明存在$n$阶正交矩阵$Q$,使得$Qu=v,Qv=u$.
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