中国科学技术大学第七届大学生数学夏令营试题

中国科大第七届大学生数学夏令营

数学分析试卷

考生姓名                所在学校                得分              

一、(15分)

1.试用$\varepsilon-\delta$语言证明: $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac1{x^2}=0$;

2.设函数

\[f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac1{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0);\\0,&(x,y)= (0,0).\end{cases}\]

试求$f'_x(0,0)$和$f'_y(0,0)$.

二、(30分)

1.求函数$f(x)=x^2e^x$的$10$阶导数$f^{(10)}(x)$;

2.将函数$f(x)=\ln (1+\sin x)$在$x=0$处Taylor展开到$3$阶,带Peano余项;

3.求$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$;

4.求$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$.

三、(30分)

1.求平面曲线$\displaystyle x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$的长度;

2.设$a,b>0$,求平面曲线段$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\, (a\leq x\leq a+b)$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积;

3.求$\displaystyle\int_\Sigma x^3d\sigma$,其中$\Sigma$是球面$x^2+y^2+z^2=R^2,R>0$, $d\sigma$是曲面的面积元;

4.设$\mathbb{R}^3$中曲线$\Gamma$是曲面$f(x,y,z)=0$和曲面$g(x,y,z)=0$的交线,且变量$x$可以作为它的一个参数,求曲线$\Gamma$的切向量.

四、(15分)

1.设函数$f(x)=\arcsin (\cos x)$,将$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上展开成Fourier级数,并讨论此Fourier级数的收敛性;

2.求向量场$\vec{V}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$在曲面$S$上的第二型曲面积分,这里设曲面$\displaystyle S:\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}$,正向为外法向.

五、(15分)

设$(a,b)$是有界开区间, $f(x)$是定义在$(a,b)$上的一致连续函数.证明$f(a^+)$和$f(b^-)$存在有限;并举例说明当$b=+\infty$时上述结论不成立.

六、(15分)

设定义在有界闭区间$[a,b]$上的函数$f(x)$满足$f''(x)>0$,且$f(a)>0,f(b)<0$.

1、证明存在唯一的$c\in (a,b),f(c)=0$;

2、设$x_0\in (a,b),f(x_0)>0$,定义数列$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}(n=0,1,2,\ldots)$.证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=c$.

七、(15分)

设$f(x)$是闭区间$[0,1]$上的Riemann可积函数, $\lambda>0$是定数.定义$D_\lambda (f)=\{x\in [0,1] |\,\omega_f(x)\geq\lambda\}$,其中$\omega_f(x)$为函数$f$在点$x$的振幅.证明:对任意$\varepsilon>0$,存在有限个开区间$I_1,I_2.\ldots,I_m$满足

(1) $\displaystyle D_\lambda (f)\subset \bigcup_{k=1}^m I_k$;

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^m |I_k|<\varepsilon$,这里$|I_k|$是区间$I_k$的长度.

八、(15分)

设平面区域$D=\left\{(x,y)|\, x^2+y^2\leq 1\right\}$,函数$f(x,y)\in C^3(D)$且$f(0,0)=0$.

1.试证明:存在$\phi (x,y),\psi (x,y)\in C^2 (D)$满足

\[f(x,y)=x\phi (x,y)+y\psi (x,y);\]

2.若$\nabla f(0,0)=0$,试证明:存在$a(x,y),b(x,y),c(x,y)\in C^1(D)$满足\[f(x,y)=x^2a (x,y)+2xyb(x,y)+y^2 c(x,y);\]

3.设$\nabla f(0,0)=0$且$f(x,y)$的Hessian矩阵在$(0,0)$点正定.试证明:在原点附近存在参数变换$(u,v)\to (x,y)=\Phi (u,v),\Phi (0,0)=(0,0)$,使得\[f(u,v)=f\circ \Phi (u,v)=u^2+v^2.\]

中国科学技术大学2017大学生数学夏令营

线性代数与解析几何

说明：考试时间180分钟，试卷满分150.

一、填空题(每空5分，共40分，结果须化简)

1.设四面体$ABCD$的四个顶点坐标分别为$A(1,2,3),B(-1,0,2),C(2,4,5),D(0,-3,4)$,则$ABCD$的体积为        .

2.椭圆$x^2-xy+y^2-x=1$长半轴的长度为        .

3.直线$l:x-1=y=z$绕$z$轴旋转所得旋转面的方程为        .

4.设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三次方程$x^3+2x^2+4x-1=0$的三个根,则行列式$\left| \begin{matrix}\alpha _1& \alpha _2& \alpha _3\\\alpha _2& \alpha _3& \alpha _1\\\alpha _3& \alpha _1& \alpha_2\\\end{matrix} \right|=$        .

5.设矩阵$A=\left( \begin{matrix}1& \sqrt{3}\\-\sqrt{3}&1\\\end{matrix} \right)$,则$A^{2017}=$        .

6.设$\mathbb{R}^4$中向量组$\alpha_1=(1,2,-1,2),\alpha_2=(a,-4,1,0),\alpha_3=(2,-1,0,1)$的秩为$2$,则$a=$        .

7.设$\mathbb{R}^3$中线性变换$\mathcal{A}$将向量$\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(0,0,1)$分别映射为向量$\beta_1=(-1,1,6),\beta_2=(-1,1,2),\beta_3=(0,-1,2)$,则$\mathcal{A}$在标准基$\mathbf{e_1}=(1,0,0),\mathbf{e_2}=(0,1,0),\mathbf{e_3}=(0,0,1)$下的矩阵为        .

8.二次型$Q(x,y,z)=\lambda (x^2+y^2+z^2)+3y^2-4xy-2xz+4yz$正定的充要条件是$\lambda$满足        .

二、判断题(每小题5分，共35分.判断下列叙述是否正确,并简要说明理由)

1.三维空间中向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$共面当且仅当$\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{c}\times\mathbf{a}$共面.

2.若实方阵$A$满足$\det (A)>0$,则存在实方阵$B$,使得$B^2=A$.

3.设向量组$\alpha_1,\ldots,\alpha_m$线性无关,且它们可以由向量组$\beta_1,\ldots,\beta_m$线性表示,则$\beta_1,\ldots,\beta_m$也线性无关.

4.设$F^{n\times n}$是$n$阶方阵全体按矩阵加法与数乘构成的线性空间. $W$是$F^{n\times n}$中可逆方阵全体构成的集合,则$W$是$F^{n\times n}$的子空间.

5.设$n$阶复方阵$A$与$B$相似,则它们的最小多项式相同.

6.对于任意实方阵$A$,存在可逆实方阵$P$,使得$P^{-1}AP=A^T$.

7.任何实方阵都可以分解为一个正交阵与一个上三角阵的乘积.

三、解答题(请从以下5题中任选4题，共75分.请给出详细解答过程)

1.在空间直角坐标系中,求过原点的平面$\pi$,使得它与柱面$S:3x^2-2xy+3y^2-10x-2y+10=0$的交线为圆.

2.给定$n$阶方阵$A=(a_{ij})$,其中$a_{ii}=2i+1,i=1,2,\ldots,n;a_{ij}=i+j\, (i\neq j),i,j=1,2,\ldots,n$.求矩阵$A$的行列式及逆矩阵.

3.设$n$阶复方阵$A,B$满足$AB=BA$.证明:存在复向量$\alpha$既是$A$的特征向量,也是$B$的特征向量.

4.给定方阵$A\in F^{n\times n}$,定义$F^{n\times n}$上的映射$\mathcal{A}:X\longrightarrow AX-XA$.

(a)证明$\mathcal{A}$是线性映射,并且$\mathcal{A}$不可逆;

(b)假设$A$可以对角化,则$F^{n\times n}=\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\oplus \mathrm{Im}(\mathcal{A})$是否成立?请说明理由.

5.设$A$是$n$阶实对称正定方阵, $K$是$n$阶非零反对称方阵.证明: $\det (A+K)>\det (A)$.