这是来自天书的优美不等式，另外也向他取得了完整证明过程.
(a)$a,b,c\geq0$，则下式成立当且仅当参数$k\geq\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，有\[\left( {\frac{a}{{b + c}} + k} \right)\left( {\frac{b}{{c + a}} + k} \right)\left( {\frac{c}{{a + b}} + k} \right) \ge {\left( {\frac{1}{2} + k} \right)^3}.\]
(b)$a,b,c,d\geq0$，则下式成立当且仅当参数$k\geq k_0$，\[\left( {\frac{a}{{b + c + d}} + k} \right)\left( {\frac{b}{{c + d + a}} + k} \right)\left( {\frac{c}{{d + a + b}} + k} \right)\left( {\frac{d}{{a + b + c}} + k} \right) \ge {\left( {\frac{1}{2} + k} \right)^4}.\]其中：\[{k_0} = \frac{{2\sqrt 6 }}{9}\cos \left( {\frac{1}{3}\arccos \frac{{27\sqrt 6 }}{{64}}} \right) - \frac{1}{6} \approx 0.379.\]
证明(a).取$a=b=1,c=0$得到：$k\geq\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.下面证$k=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$成立，作代换$\frac{2a}{b+c}=x$等得到$xy+yz+zx+xyz=4$，进一步推出$\sum x\geq \sum xy$.记$\frac{\sqrt{5}-1}{4}=m$，欲证不等式等价于\[\prod {\left( {m + x} \right)} \ge {\left( {m + 1} \right)^3} \Leftrightarrow {m^2}\sum x + m\sum {xy} + xyz \ge 3{m^2} + 3m + 1.\]注意到：$\mathrm{LHS}\geq(m^2+m-1)\sum xy\geq3m^2+3m-3$.由于$xyz\leq1\Rightarrow \sum xy\geq3$说明上式成立！
证明(b).首先,取$a=b=c=1;d=0$,得到:
$$108k^3+54k^2-15k-8\ge0$$
由笛卡尔符号法则知左侧多项式恰好有一个实根,由三角解法易得其唯一实根:
$$k_0=\frac{2\sqrt{6}}{9}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{27\sqrt{6}}{64}\right)\right)-\frac{1}{6}$$
下面取$k=k_0$证明原不等式成立,从而说明$k_0$的确是最小值
做代换$\frac{3a}{b+c+d}=x;\frac{3b}{c+d+a}=y;\frac{3c}{d+a+b}=z;\frac{3d}{a+b+c}=w$,则有:
$$\left\{\begin{array}{cc}3a-xb-xc-xd=0\\-ya+3b-yc-yd=0\\-za-zb+3c-zd=0\\-wa-wb-wc+3d=0\end{array}\right.$$
这个关于$a,b,c,d$的线性方程组有非0解,从而系数矩阵行列式为0:
$$\left|\begin{array}{cccc}3&-x&-x&-x\\-y&3&-y&-y\\-z&-z&3&-z\\-w&-w&-w&3\end{array}\right|=0\Rightarrow 3\sum_{sym}xy+2\sum xyz+xyzw=27$$
欲证不等式等价:
$$\prod(3k+x)\ge(3k+1)^4\Leftrightarrow xyzw+3k\sum xyz+9k^2\sum_{sym}xy+27k^3\sum x\ge(3k+1)^4-(3k)^4$$
用恒等式消去$xyzw$,上式等价:
$$(3k-2)\sum xyz+(9k^2-3)\sum_{sym}xy+27k^3\sum x\ge(3k+1)^4-(3k)^4-27$$
下面,注意到如下熟知的结论:
$$\sum x\ge4;\sum_{sym}xy\ge6;3\sum x\ge2\sum_{sym}xy;\sum xyz\le4;xyzw\le1$$
从而,有:$$2\sum xyz=27-3\sum_{sym}xy-xyzw\ge26-3\sum_{sym}xy$$
利用牛顿逼近法得$k_0\in(0.37,0.38)$,由于$k_0<\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{2}{3}$,得$3k-2>0,9k^2-3>0$,从而:
\begin{align*}&(3k-2)\sum xyz+(9k^2-3)\sum_{sym}xy+27k^3\sum x\\&\ge(9k^2-3-\frac{3}{2}(3k-2))\sum_{sym}xy-13(3k-2)+27k^3\sum x\\&\ge(9k^2-\frac{9k}{2})\sum_{sym}xy-13(3k-2)+18k^3\sum_{sym}xy\end{align*}
下面,只需说明:
$$(18k^3+9k^2-\frac{9k}{2})\sum_{sym}xy\ge13(3k-2)+(3k+1)^4-(3k)^4-27$$
$$\Leftrightarrow k(4k^2+2k-1)\left(\sum_{sym}xy-6\right)\ge0$$
最后,我们只需说明:$4k^2+2k-1\ge0$,事实上:
$$4k^2+2k>4(\frac{7}{20})^2+2(\frac{7}{20})>1$$
得证.
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