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一道杂志征解题的解答 - Eufisky - The lost book
哆嗒数学网里代数龙发的一系列级数题
2013武大数分压轴题

一道杂志征解题的解答

Eufisky posted @ 2015年10月04日 16:32 in 数学分析 with tags 积分计算 , 848 阅读

这道题来自MAA的杂志The American Mathematical Monthly, Vol. 122, No. 5 (May 2015), pp. 500-507,可以参考链接http://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.122.5.500?seq=1#page_scan_tab_contents


01xdxx0cos(xy)cosxydy.


解.(翻译而来)令f(x,y)=cos(xy)cosxy.对x>0,我们有x0f(x,y)dy=10cos(1t)xcosxydt=x101t11tsinuxdudt.

因而对R>0,

R01xx0f(x,y)dydx=R0101t11tsinuxdudtdx.

|sinux|1,该三重积分是绝对收敛的.由Fubini定理可知积分能交换次序

R01xx0f(x,y)dydx=1011t1tR0sinuxdxdudt=101cosRuu11u1tdtdu=10ln(1u)udu+10ln(1u)ucosRudu.
我们知|ln(1u)/u|L1([0,1]),由Riemann-Lebesgue引理可知
lim
由于{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{t^{n - 1}}}}{n}} }一致收敛,故可逐项积分.因此我们有
\begin{align*}&\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } \int_0^R {\frac{1}{x}} \int_0^x {f\left( {x,y} \right)dydx}  =  - \int_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 - u} \right)}}{u}du} \\= &\int_0^1 {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{t^{n - 1}}}}{n}} dt}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^2}}}}  = \frac{{{\pi ^2}}}{6}.\end{align*}

 


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