Eufisky - The lost book

FoxTrot Series

$F = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{n^2}}}{{{n^3} + 1}}} = \frac{1}{3}\left[ {1 - \ln 2 + \pi \mathrm{sech}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\pi } \right)} \right].$

Ahmed’s integrals 和 Coxeter’s integrals

1. 主要结果

$$A(p, q, r) := \int_{0}^{1} \frac{\arctan q \sqrt{p^{2}x^{2} + 1} }{q \sqrt{p^{2}x^{2} + 1}} \frac{p q r}{(r^{2}+1)p^{2}x^{2} + 1} \, dx.$$

\begin{align*} \rho &= \frac{1-pqr}{1+pqr}, & \alpha &= 2\arctan\left( \frac{qr}{\sqrt{r^{2}+1}} \right), \\ \beta &= 2\arctan\left( \frac{rp}{\sqrt{p^{2}+1}} \right), & \gamma &= 2\arctan\left( r\sqrt{q^{2}+1} \right). \end{align*}

\begin{align*} A(p, q, r) &= \frac{1}{8} \left( \alpha(2\pi-\alpha) + \beta(2\pi-\beta) – \gamma(2\pi-\gamma) \right) \\ &\qquad – \frac{1}{2}\Re \left( \operatorname{Li}_{2}(\rho) – \operatorname{Li}_{2}(\rho e^{i\alpha}) – \operatorname{Li}_{2}(\rho e^{i\beta}) + \operatorname{Li}_{2}(\rho e^{i\gamma}) \right). \end{align*}

$$A(p, q, r) = A(\rho \mid \alpha, \beta, \gamma)$$

2. 推论

$$A(p, q, r) = \frac{1}{8} \left( \alpha(2\pi-\alpha) + \beta(2\pi-\beta) – \gamma(2\pi-\gamma) \right).$$

\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{\arctan\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}} \, \frac{dx}{x^{2}+1} &= A\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 1 \right) \\ &= A\left( 0 \, \middle| \, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right) \\ &= \frac{5\pi^{2}}{96}. \end{align*}

$$A(p, q, r) = \frac{\pi}{4} \left( \alpha + \beta – \gamma \right).$$

$$\Re\operatorname{Li}_{2}(-e^{i\theta}) = \operatorname{Li}_{2}(-1) + \frac{\theta^{2}}{4} \quad |\theta| \leq \pi,$$

\begin{align*} A(-1 \mid \alpha, \beta, \gamma) &= \frac{\pi}{4} \left( \alpha + \beta – \gamma \right). \end{align*}

3. 在Coxeter’s integrals上的应用

\begin{align*} &\int_{0}^{\beta} \arctan \sqrt{\frac{\cos\theta + 1}{a\cos\theta + b}} \, d\theta \\ &= 2 A \left( \sqrt{\frac{a-b}{2} \cdot \frac{1-\cos\beta}{a\cos\beta+ b}}, \sqrt{\frac{2}{a+b}}, \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \right) \\ &= 2 A \left( \frac{1-k}{1+k} \, \middle| \, \alpha, \beta, \gamma\right) \end{align*}

$$k = \left( \frac{1-\cos\beta}{a\cos\beta+ b} \right)^{1/2}, \quad \alpha = \arccos\left(\frac{a-1}{a+1}\right), \quad \gamma = \arccos\left(-\frac{1+b}{1+a}\right).$$定义的.

\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arccos \left( \frac{\cos \theta}{1+2\cos \theta} \right) \; d\theta &= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan \sqrt{\frac{\cos \theta + 1}{3\cos \theta + 1}} \, d\theta \\ &= 4 A \left( 0 \, \middle| \, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} \right) \\ &= \frac{5\pi^{2}}{24}. \end{align*}

\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \arccos \left( \frac{\cos \theta}{1+2\cos \theta} \right) \; d\theta &= 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \arctan \sqrt{\frac{\cos \theta + 1}{3\cos \theta + 1}} \, d\theta \\ &= 4 A \left( \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} \, \middle| \, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right). \end{align*}

$$\operatorname{Li}_{2}(\rho) – \operatorname{Li}_{2}(\rho^{2}) – \operatorname{Li}_{2}(\rho^{3}) + \frac{1}{3}\operatorname{Li}_{2}(\rho^{6}), \quad \rho = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}.$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \arccos \left( \frac{\cos \theta}{1+2\cos \theta} \right) \; d\theta = \frac{2\pi^{2}}{15}.$$

\begin{align*}\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\arccos \frac{{1 - \cos x}}{{2\cos x}}dx}  &= 2\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\arctan \sqrt {\frac{{ - 1 + 3\cos x}}{{1 + \cos x}}} dx}  = 2\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{\pi }{2} - \arctan \sqrt {\frac{{\cos x + 1}}{{3\cos x - 1}}} } \right)dx} \\&= \frac{{{\pi ^2}}}{3} - 2\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\arctan \sqrt {\frac{{\cos x + 1}}{{3\cos x - 1}}} dx}  = \frac{{{\pi ^2}}}{3} - 4A\left( {1\left| {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}} \right.} \right).\end{align*}

\begin{align*}A\left( {0\left| {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}} \right.} \right) = &\frac{1}{8}\left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2\pi  - \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{\pi }{3}\left( {2\pi  - \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{\pi }{2}\left( {2\pi  - \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\\=& \frac{{13{\pi ^2}}}{{288}} .\end{align*}

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\arccos \sqrt {\frac{{\cos x}}{{1 + 2\cos x}}} dx} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\arctan \sqrt {\frac{{\cos x + 1}}{{\cos x}}} dx} = 2A\left( { - 1\left| {\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}} \right.} \right)$

\begin{align*}A\left( { - 1\left| {\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}} \right.} \right) = &\frac{1}{8}\left[ {\frac{\pi }{2}\left( {2\pi  - \frac{\pi }{2}} \right) + \frac{\pi }{2}\left( {2\pi  - \frac{\pi }{2}} \right) - \frac{{2\pi }}{3}\left( {2\pi  - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]\\&- \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ { \operatorname{Li}_2\left( { - 1} \right) - \operatorname{Li}_2\left( { - {e^{i\frac{\pi }{2}}}} \right) - \operatorname{Li}_2\left( { - {e^{i\frac{\pi }{2}}}} \right) + \operatorname{Li}_2\left( { - {e^{i\frac{{2\pi }}{3}}}} \right)} \right]\\= &\frac{{11{\pi ^2}}}{{144}} - \frac{1}{2}\left[ { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{{{\pi ^2}}}{{48}} + \frac{{{\pi ^2}}}{{48}} + \frac{{{\pi ^2}}}{{36}}} \right] = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}.\end{align*}

\begin{align*}&{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\operatorname{Li}_2\left( {{e^{i\frac{\pi }{3}}}} \right)} \right\} = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\operatorname{Li}_2\left( {{e^{ - i\frac{{2\pi }}{3}}}} \right)} \right\} = \frac{1}{2}\left\{ { \operatorname{Li}_2\left( {{e^{i\frac{\pi }{3}}}} \right) + \operatorname{Li}_2\left( {1 - {e^{i\frac{\pi }{3}}}} \right)} \right\}\\= &\frac{1}{2}\left\{ {\frac{1}{6}{\pi ^2} - \ln {e^{i\frac{\pi }{3}}}\ln {e^{ - i\frac{\pi }{3}}}} \right\} = \frac{1}{2}\left\{ {\frac{1}{6}{\pi ^2} - \left( {i\frac{\pi }{3}} \right)\left( { - i\frac{\pi }{3}} \right)} \right\} = \frac{{{\pi ^2}}}{{36}}.\end{align*}

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\arccos \sqrt {\frac{{\cos x}}{{1 + 2\cos x}}} dx} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}.$

级数方法解答的一道积分不等式题

$\int_0^{2\left( {k + 1} \right)} {\frac{{{x^k}}}{{k!}}{e^{ - x}}dx} = - \left. {{e^{ - x}}\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{x^i}}}{i}} } \right|_0^{2\left( {k + 1} \right)} = 1 - {e^{ - 2\left( {k + 1} \right)}}\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^i}}}{i}} .$

${e^{2k + 2}} > \left( {k + 1} \right)\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^i}}}{{i!}}} \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^i}}}{{i!}}} > \left( {k + 1} \right)\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^i}}}{{i!}}} .$

$\sum\limits_{i = k + 1}^{2k + 1} {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^i}}}{{i!}}} = \sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^{i + k + 1}}}}{{\left( {i + k + 1} \right)!}}} > k\sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( {2k + 2} \right)}^i}}}{{i!}}} .$

${\left( {2k + 2} \right)^{k + 1}} > k\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{k!}} = k\left( {k + 1} \right) \cdots \left( {2k + 1} \right) > k\frac{{\left( {i + k + 1} \right)!}}{{i!}}$是显然的.

谢惠民题解之23.2含参变量广义积分

1.讨论下列广义积分的一致收敛性:

（1） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {{e^{ - \left( {1 + {a^2}} \right)t}}\sin tdt} ,\quad a \in \left( { - \infty , + \infty } \right)$;

（2） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {\frac{{\cos xy}}{{\sqrt {x + y} }}dx} ,\quad y \in \left[ {{y_0}, + \infty } \right)$,其中$y_0>0$;

（3） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {{e^{ - t{x^2}}}dx} ,\quad t \in \left( {0, + \infty } \right)$;

（4） $\displaystyle \int_1^{ + \infty } {{e^{ - \alpha x}}\frac{{\cos x}}{{\sqrt x }}dx} ,\quad \alpha \in \left[ {0, + \infty } \right)$;

（5） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {{e^{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}}}dx} ,\quad y \in \left( { - \infty , + \infty } \right)$;

（6） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {x\ln x{e^{ - t\sqrt x }}dx}$,$\quad$ (1) $t\in [t_0,+\infty)$,其中$t_0>0$,$\quad$ (2) $t\in (0,+\infty)$;

（7） $\displaystyle \int_1^{ + \infty } {\frac{{1 - {e^{ - ut}}}}{t}\cos tdt} ,\quad u \in \left[ {0,1} \right]$;

（8） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {\frac{{\alpha t}}{{1 + {\alpha ^2} + {t^2}}} \cdot {e^{ - {\alpha ^2}{t^2}}}\cos {\alpha ^2}{t^2}dt} ,\quad \alpha \in \left( {0, + \infty } \right)$;

（9） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^2}\left( {1 + {y^2}} \right)}}\sin ydy} ,\quad x \in \left( {0, + \infty } \right)$;

（10） $\displaystyle \int_0^{ + \infty } {\frac{{\alpha dx}}{{1 + {\alpha ^2}{x^2}}}} ,\quad \alpha \in \left( {0,1} \right)$;

（11） $\displaystyle \int_0^2 {\frac{{{x^t}}}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}}}dx} ,\quad \left| t \right| < \frac{1}{2}$;

（12） $\displaystyle \int_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^{u - 1}}dx}$,$\quad$ (1) $u\in [a,+\infty)$,其中$a>0$,$\quad$ (2) $u\in (0,+\infty)$.

（1） 一致收敛.由于

$\left| {{e^{ - \left( {1 + {a^2}} \right)t}}\sin t} \right| \le {e^{ - t}},\quad 0 \le t < + \infty , - \infty < a < + \infty ,$

（2） 一致收敛.由于

$\left| {\int_0^A {\cos xydx} } \right| = \left| {\frac{{\sin Ay}}{y}} \right| \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{{{y_0}}}, \quad A \ge 0,y \ge {y_0},$

（3） 非一致收敛.对于正整数$n$,取$t_n=\frac1{n^2}$,这时

\begin{align*}\left| {\int_n^{2n} {{e^{ - {t_n}{x^2}}}dx} } \right| &= \int_n^{2n} {{e^{ - \frac{1}{{{n^2}}}{x^2}}}dx} > \int_n^{2n} {{e^{ - \frac{1}{{{n^2}}}{{\left( {2n} \right)}^2}}}dx} \\&= \int_n^{2n} {{e^{ - 4}}dx} = {e^{ - 4}}n \ge {e^{ - 4}}.\end{align*}

（4） $\int_1^A {\cos xdx}$显然有界, $1/\sqrt{x}$在$[1,+\infty)$上单调且$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$,由Dirichlet判别法, $\int_1^{+\infty}\frac{\cos x}{\sqrt{x}}$收敛,它当然关于$\alpha$一致收敛.显然$e^{-\alpha x}$关于$x$单调,且$0\leq e^{-\alpha x}\leq 1,\quad 0\leq \alpha<+\infty,1\leq x<+\infty,$即$e^{-\alpha x}$一致有界.由Abel判别法, $\int_1^{ + \infty } {{e^{ - \alpha x}}\frac{{\cos x}}{{\sqrt x }}dx}$在$\left[ {0, + \infty } \right)$上一致收敛.

（5） 不一致收敛.注意到$\displaystyle J\left( A \right) = \int_A^{2A} {{e^{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}}}dx} = \int_{A - y}^{2A - y} {{e^{ - {u^2}}}du}$,并让$y$取$A$值,则得$\displaystyle J\left( A \right) = \int_0^A {{e^{ - {u^2}}}du} \to \int_0^{ + \infty } {{e^{ - {u^2}}}du} \left( {A \to + \infty } \right)$,即$J(A)$在$A\to +\infty$时不趋于$0$.

（6） 先证明$\int_0^{ + \infty } {x\ln x{e^{ - t\sqrt x }}dx}$在$[t_0,+\infty)(t_0>0)$上一致收敛.由于

$\left| {x\ln x{e^{ - t\sqrt x }}} \right| \le \left| {x\ln x} \right|{e^{ - {t_0}\sqrt x }},\quad 0\leq x<+\infty,t_0\leq t<+\infty,$

$\int_0^{ + \infty } {x\ln x{e^{ - t\sqrt x }}dx}$在$[t_0,+\infty)$上一致收敛.

\begin{align*}&\left| {\int_n^{2n} {x\ln x{e^{ - {t_n}\sqrt x }}dx} } \right| = \left| {\int_n^{2n} {x\ln x{e^{ - \frac{1}{{\sqrt n }}\sqrt x }}dx} } \right|\\>& n\ln n\int_n^{2n} {{e^{ - \frac{1}{{\sqrt n }}\sqrt x }}dx} > n\ln n\int_n^{2n} {{e^{ - \frac{1}{{\sqrt n }}\sqrt {2n} }}dx} \\=& {n^2}\ln n \cdot {e^{ - \sqrt 2 }} \ge 4\ln 2 \cdot {e^{ - \sqrt 2 }}.\end{align*}

（7） 一致收敛.由于$\int_1^{ + \infty } {\frac{{\cos t}}{t}dt}$收敛,它当然关于$u$一致收敛.显然$1-e^{-ut}$关于$t$单调,且

$0\leq 1-e^{-ut}\leq 1,\quad 0\leq u\leq1,1\leq t<+\infty,$即$1-e^{-ut}$一致有界.由Abel判别法, $\int_1^{ + \infty } {\frac{{1 - {e^{ - ut}}}}{t}\cos tdt}$在$\left[ {0,1} \right]$上一致收敛.

（8） 一致收敛.由于$\left| {\int_0^A {\alpha t \cdot {e^{ - {\alpha ^2}{t^2}}}\cos {\alpha ^2}{t^2}dt} } \right| \le \int_0^A {\alpha t \cdot {e^{ - {\alpha ^2}{t^2}}}dt} = \frac{{1 - {e^{ - {\alpha ^2}{A^2}}}}}{{2\alpha }},$且$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{1 - {e^{ - {\alpha ^2}{A^2}}}}}{{2\alpha }} = 0,\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to + \infty } \frac{{1 - {e^{ - {\alpha ^2}{A^2}}}}}{{2\alpha }} = 0,$

（9） 非一致收敛.对于正整数$n$,取${x_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {2n + 1} \right)}^2}{\pi ^2}} }}$,这时

\begin{align*}\left| {\int_{2n\pi }^{\left( {2n + 1} \right)\pi } {{e^{ - x_n^2\left( {1 + {y^2}} \right)}}\sin ydy} } \right| &= \left| {\int_{2n\pi }^{\left( {2n + 1} \right)\pi } {{e^{ - \frac{1}{{1 + {{\left( {2n + 1} \right)}^2}{\pi ^2}}}\left( {1 + {y^2}} \right)}}\sin ydy} } \right|\\&> \frac{1}{e}\int_{2n\pi }^{\left( {2n + 1} \right)\pi } {\sin ydy} = \frac{2}{e}.\end{align*}

（10） 非一致收敛.对于任意取定的正数$A$,由于$\int_A^{ + \infty } {\frac{{\alpha dx}}{{1 + {\alpha ^2}{x^2}}}} = \frac{\pi }{2} - \arctan \left( {\alpha A} \right),$取$\alpha=1/A$,则有$\int_A^{ + \infty } {\frac{{\alpha dx}}{{1 + {\alpha ^2}{x^2}}}} = \int_A^{ + \infty } {\frac{{1/A}}{{1 + {x^2}/{A^2}}}dx} = \frac{\pi }{4} .$因此$\int_0^{ + \infty } {\frac{{\alpha dx}}{{1 + {\alpha ^2}{x^2}}}}$在$\left( {0,1} \right)$上不一致收敛.

（11） 一致收敛.见周民强207页.利用

$0 \le \left| {\frac{{{x^t}}}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}}}} \right| < \frac{1}{{\sqrt x \sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}}}.$

$0 \le \left| {\frac{{{x^t}}}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}}}} \right| < \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}}}.$

$\int_0^2 {\frac{{{x^t}}}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}}}dx} < \int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt x \sqrt[3]{{\left( {1 - x} \right)\left( {2 - x} \right)}}}}dx} + \int_1^2 {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}}}dx} .$

\begin{align*}{\frac{1}{{\sqrt x \sqrt[3]{{\left( {1 - x} \right)\left( {2 - x} \right)}}}}} &= O\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right),x \to {0^ + },\\{\frac{1}{{\sqrt x \sqrt[3]{{\left( {1 - x} \right)\left( {2 - x} \right)}}}}} &= O\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}} \right),x \to 1,\\\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}}} &= O\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}} \right),x \to 1,\\\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt[3]{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}}} &= O\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{2 - x}}}}} \right),x \to 2,\end{align*}

（12） 先证明$\int_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^{u - 1}}dx}$在$[a,+\infty)(a>0)$上一致收敛.由于${\left( {1 - x} \right)^{u - 1}} \le {\left( {1 - x} \right)^{a - 1}},\quad 0 \le x \le 1,a \le u < + \infty,$而$\int_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^{a - 1}}dx} = \frac{1}{a}$收敛,由Weierstrass判别法知, $\int_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^{u - 1}}dx}$在$[a,+\infty)$上一致收敛.

2.设$\displaystyle \int_0^{ + \infty } {{x^\lambda }f\left( x \right)dx}$当$\lambda=a,\lambda=b$时收敛$(a<b)$.证明$\displaystyle \int_0^{ + \infty } {{x^\lambda }f\left( x \right)dx}$当$\lambda=a,\lambda=b$关于$\lambda\in [a,b]$一致收敛.

$\int_0^1 {{x^\lambda }f\left( x \right)dx} = \int_0^1 {{x^{\lambda - a}} \cdot {x^a}f\left( x \right)dx}$关于$\lambda$一致收敛.类似地可以看出以下积分

$\int_1^{ + \infty } {{x^\lambda }f\left( x \right)dx} = \int_1^{ + \infty } {{x^{\lambda - b}} \cdot {x^b}f\left( x \right)dx} ,$

3.证明积分$\int_0^{ + \infty } {x{e^{ - xy}}dy}$在$(0,+\infty)$上不一致收敛.

$\int_A^{ + \infty } {x{e^{ - xy}}dy} = {e^{ - Ax}},$

$\int_A^{ + \infty } {x{e^{ - xy}}dy} = \frac{1}{e}.$因此$\int_0^{ + \infty } {x{e^{ - xy}}dy}$在$(0,+\infty)$上不一致收敛.

Sion's minimax theorem

(1)试比较$\inf\limits_{y \in I}\sup_{x \in I}f(x,y)$ 与$\sup\limits_{x \in I}\inf_{y\in I}f(x,y)$的大小并证明之;
(2)给出并证明使等式$\inf\limits_{y\in I}\sup\limits_{x \in I}f(x,y) = \sup\limits_{x \in I}\inf\limits_{y \in I}f(x,y)$成立的充分必要条件.

Arnold：数学基本技艺测试100题

1. 随手画一条曲线，试画出其导函数与原函数的图像。

2. 计算
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\tan{x})-\tan(\sin{x})}{\arcsin(\arctan{x})-\arctan(\arcsin{x})}.$$

3. 求出映射$z\mapsto,z^2+2\overline{z}$的临界点和临界值，并用图表示出来。

4. 计算函数$\frac{x^2+1}{x^3-x}$的第$100$阶导数。

5. 计算函数$\frac{1}{x^2+3x+2}$在$x=0$处的第$100$阶导数值（相对误差小于$10\%$）。

6. 在$(x,y)$平面上画出参数曲线
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} x&=2t-4t^3 \\ y&=t^2-3t^4 \end{aligned} \right. \end{equation*}

7. 从平面上一定点至多可以引多少条给定椭圆的法线？讨论在什么区域中，法线的条数最多。

8. 函数$x^4+y^4+z^4+u^4+v^4$在曲面
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x+y+z+u+v=0 \\ &x^2+y^2+z^2+u^2+v^2=1\\ &x^3+y^3+z^3+u^3+v^3=C \end{aligned} \right. \end{equation*}

9. 是否所有正值的二元实多项式在平面上一定达到它的下界？

10. 研究方程
$$x^5+x^2y^2=y^6$$

11. 研究积分
$$\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{1}{1+x^4y^4}\text{d}x\text{d}y$$

12. 求向量场$\frac{\textbf{r}}{r^3}$通过曲面$(x-1)^2+y^2+z^2=2$的通量。

13. 计算
$$\int_1^{10}x^x\mathrm{d}x,$$

14. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}(x^4+4x+4)^{-100}\mathrm{d}x,$$

15. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(100(x^4-x))\mathrm{d}x,$$

16. 一个$5$维立方体，它的内接球的体积占立方体的体积多少比例？对$10$维立方体呢？

17. 求出半径为$1$的$100$维均匀半球体其重心到球心的距离（相对误差不超过$10\%$）。

18. 计算
$$\iint_{\mathbb{R}^n}\exp{\Bigl(-\sum_{1\leq,i<j\leq,n}x_ix_j\Bigr)}\text{d}x_1\cdots,\mathrm{d}x_n.$$

19. 利用斯涅尔定律研究光线在折射率为$n(y)=y^4-y^2+1$的平面介质中的路径。（斯涅尔定律即光的折射定律，光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射，其中入射光线、折射光线与法线位于同一个平面上，并且与界面法线的夹角满足如下关系：
$n(y)\sin\alpha=\mbox{常数}$，其中$\alpha$是光线与法线$y$轴的夹角。）

20. 设函数$x=x(a,t)$是含参数$a$的方程$\ddot{x}=x+a\dot{x}$在初始条件$x(0)=1,\dot{x}(0)=0$下的解，求$x(a,t)$在参数$a=0$处关于$a$的偏导数。

21. 设函数$x=x(a,t)$是方程$\ddot{x}=\dot{x}^2+x^3$在初始条件$x(0)=0,,\dot{x}(0)=a$下的解，求$x(a,t)$在参数$a=0$处关于$a$的偏导数。

22. 在方程$\dddot{x}+a\ddot{x}+b\dot{x}+cx=0$的系数空间中，研究稳定性区域$(\max\{{\rm Re}\lambda_j\}<0)$的边界。

23. 求解拟齐次方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x+\frac{x^3}{y}.$$

24. 求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$。

25. 渐近稳定的平衡位置能否在线性化下变成李雅普诺夫意义下不稳定的？

26. 研究方程组
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \dot{x}&=y \\ \dot{y}&=2\sin{y}-y-x \end{aligned} \right. \end{equation*}
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \dot{x}&=y \\ \dot{y}&=2x-x^3-x^2-\varepsilon,y \end{aligned} \right.\qquad (\varepsilon\ll1) \end{equation*}

27. 在$(x,E)$平面上画出方程
$$\ddot{x}=F(x)-k\dot{x}.$$
$F(x)=-\mathrm{d}U/\mathrm{d}x$的解在势能$U$的非退化临界点附近的图像，其中$E=\dot{x}^2/2+U(x)$是总能量。

28. 讨论参数方程
$$\dot{z}=\varepsilon,z-(1+i)z|z|^2+\overline{z}^4$$

29. 一个电荷在一垂直于平面的强磁场$B(x,y)$作用下以速度1在平面上运动。试问，其拉莫尔圆周的中心将朝哪边运动，

30. 求向量场$z$, $\mapsto,z\bar{z}^2+z^4+2\bar{z}^4$除$z=0$之外的奇点的指标的和。

31. 求向量场$U(x,y,z)=(x^4+y^4+z^4,,x^3y-xy^3,,xyz^2)$在奇点$(x,y,z)=(0,0,0)$处的指标。

32. 求向量场$U(x,y,z)={\rm grad}(xy+yz+zx)$在奇点$(x,y,z)=(0,0,0)$处的指标。

33. 求出小振动方程
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \ddot{x}&=-4x \\ \ddot{y}&=-9y \end{aligned} \right. \end{equation*}

34. 研究曲线$y=x^3$在射影平面上的奇点。

35. 画出曲面$(x^2+y^2-2)^2+z^2=1$的测地线。

36. 画出立方抛物线$y=x^3$的渐伸线。(以弧长$s$为参数的曲线${r}={r}(s)$的渐伸线是${r}(s)+(c-s){\dot{r}}(s)$的点的轨迹，$c$是常数。)

37. 证明，在欧氏空间$E^n$中通过点$x_0$且对应于不同$\lambda$值的曲面族
$$\langle(A-\lambda,E)^{-1}X,,X\rangle=1$$

38. 计算曲面
$$(x^2+y^2-1)(2x^2+3y^2-1)+z^4=0$$

39. 计算高斯积分
$$\oint\frac{(\mathrm{d}{A},\mathrm{d}{B},{A}-{B})}{|{A}-{B}|^3},$$

40. 试求在列宁格勒（北纬$60$度）指向正北的向量沿闭纬线由西向东的平行移动。

41. 求出上半平面上的直线$y=1$在罗巴切夫斯基—庞加莱度量$\mathrm{d}s^2=(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2)/y^2$下的测地曲率。

42. 在罗巴切夫斯基平面上，一个三角形的三条中线是否交于一点？三条高线呢？

43. 求出$k+l$维线性空间中曲面
$$x_1^2+\cdots+x_k^2-y_1^2-\cdots-y_l^2=1$$

$$x_1^2+\cdots+x_k^2-y_1^2-\cdots-y_l^2\leq1$$

44. 求出射影空间中曲面$x^2+y^2=1+z^2$的贝蒂数。对曲面$z=xy,z=x^2,z^2=x^2+y^2$考虑同样的问题。

45. 求出射影平面中曲面$x^4+y^4=1$的自相交数。

46. 将单位圆内部保角映射为第一象限。

47. 将单位圆的外部保角映射到给定椭圆的外部。

48. 将除去一段垂直于$x$轴的线段的上半平面保角映射到上半平面。

49. 计算
$$\oint_{|z|=2}\frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{1+z^{10}}}.$$

50. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ikx}}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$

51. 计算
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}\frac{1-e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x.$$

52. 计算出当$k\to+\infty$时，积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ikx}}{\sqrt{1+x^{2n}}}\mathrm{d}x$$

53. 研究微分形式$dx/y$在紧致黎曼面$y^2/2+U(x)=E$上的奇点，其中$U$是多项式，$E$是非临界值。

54. 对于系统$\ddot{x}=3x-x^3-1$，在具有相同能量值的情况下，哪一个势阱（较深的还是较浅的）具有较大的振荡周期？

55. 研究反正切函数$w=\arctan{z}$的黎曼曲面的拓扑性质。

56. 函数$w=\sqrt{1+z^n}$的黎曼面有多少个洞？

57. 求出下列问题的解空间的维数：
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial,u}{\partial,z}=\delta(z-i)\qquad &{\rm Im}(z)>0 \\ &{\rm Im}[u(z)]=0\qquad &{\rm Im}(z)=0\\ &\lim_{z\to\infty}u(z)=0& \end{aligned} \right. \end{equation*}

58. 求出下列问题的解空间的维数：
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial,u}{\partial,\overline{z}}=a\delta(z-i)+b\delta(z+i)\qquad &|z|<2 \\ &{\rm Im}[u(z)]=0\qquad& |z|=2 \end{aligned} \right. \end{equation*}

59. 研究问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &yu_x-xu_y=0 \\ &u(1,y)=\cos{y} \end{aligned} \right. \end{equation*}

60. 柯西问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &x(x^2+y^2)u_x+y^3u_y=0 \\ &u(x,0)=1 \end{aligned} \right. \end{equation*}

61. 使得问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &uu_x+u_y=\sin{x} \\ &u(x,0)=0 \end{aligned} \right. \end{equation*}

62. 求出方程
$$yu_x-(\sin{x})u_y=u^2$$

63. 柯西问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &yu_x+(\sin{x})u_y=y \\ &u(0,y)=y^4 \end{aligned} \right. \end{equation*}

64. 柯西问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u(x,x^2)=1 \\ &(\nabla,u)^2=1 \end{aligned} \right. \end{equation*}

65. 求函数$\ln{r}$在圆周$(x-a)^2+(y-b)^2$上的平均值，并求出函数$1/r$在球面上的平均值。

66. 求解狄利克雷问题

67. 诺伊曼问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \Delta u&=0\qquad x^2+y^2>1 \\ \frac{\partial u}{\partial n}&=0\qquad x^2+y^2=1 \end{aligned} \right. \end{equation*}

68. 设
$$\mathcal{F}=\{u(x,y)|,u(x,y)\text{在单位圆内光滑且连续到边界},u(0)=0,u\text{在边界圆周上等于}1\},$$

$$D(u)=\iint_{x^2+y^2\leq1}\bigl(\frac{\partial,u}{\partial,x}\bigr)^2+\bigl(\frac{\partial,u}{\partial,y}\bigr)^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

69. 证明：以给定闭围道为基的立体角在围道外是角顶点的调和函数。

70. 计算从球面$x^2+y^2+(z-2)^2=1$上的点看平面$z=0$上的圆盘$x^2+y^2\leq1$的立体角的平均值。

71. 设在离空腔中心距离为$r$处有一电荷$q=1$。试计算空腔的导电边界$x^2+y^2+z^2=1$上的电荷密度。

72. 计算重力场在月球距离处的影响，精确到扁率$\varepsilon$的一阶近似。（假设地球的密度是均匀的。）

73. 有一个近乎球形的电容器$R=1+\varepsilon,f(\theta,\phi)$，求它的不完善性对其电容量的影响（估计到$\varepsilon$的一阶近似）。

74. 如果对于$0\leq,x\leq1$，函数$u(x,t)$满足
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_t-\Delta,u&=0 \\ u(x,0)&=x^2\\ u(x,x^2)&=x^2 \end{aligned} \right. \end{equation*}

75. 由于温度的全年变换，某城市的土地冻结$2$米深。那么在同样振幅的一昼夜变换下，土地冻结多深？

76. 研究问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u_t+(u\sin{x})_x=\varepsilon,u_{xx} \\ &u(x,0)=1 \end{aligned} \qquad (\varepsilon\ll1)\right. \end{equation*}

77. 求拉普拉斯算子$\Delta=\rm{div,grad}$在欧氏空间$E^n$的半径为$R$的单位球面上的特征值及重数。

78. 求解柯西问题：
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &A_{tt}=9A_{xx}-2B \\ &B_{tt}=6B_{xx}-2A\\ &A(x,0)=\cos{x}\\ &B(x,0)=0\\ &A_t(x,0)=0\\ &B_t(x,0)=0 \end{aligned} \right. \end{equation*}

79. 边界值问题
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u_{xx}+\lambda,u=\sin{x} \\ &u(0)=u(\pi)=0 \end{aligned} \right.\end{equation*}

80. 求解方程
$$\int_0^1(x+y)^2u(x)\mathrm{d}x=\lambda,u(y)+1.$$

81. 求出算子$\frac{d^2}{dx^2}-1$的格林函数并求解下述方程
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x-y|}u(y)\mathrm{d}y=e^{-x^2}.$$

82. 对什么样的速度$c$，方程
$$u_t-u_{xx}=u-u^2$$

83. 求出方程
$$u_t=u_{xxx}+uu_x$$

84. $n$个变量的二次型
$$\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2$$

$$\sum_{i<j}x_ix_j$$

85. 求椭球面
$$\sum_{i<j}x_ix_j=1$$

86. 过立方体（正四面体、正二十面体）的中心作一条直线，使得各顶点到该直线的距离的平方和分别为最大和最小。

87. 求出椭球面$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1+\varepsilon xy$的半轴长对$\varepsilon$在$\varepsilon=0$处的导数。

88. 二维平面与无穷维立方体$|x_k|\leq1,\quad,k=1,2,\ldots$相交可以得到多少中可能的图形？

89. 计算$\mathbb{R}^3$中的向量积的和
$$[[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]].$$

90. 计算矩阵的换位子的和
$$[[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]].$$

91. 求出算子$e^{\frac{d}{dt}}$在拟多项式空间
$$V=\{e^{\lambda t}p(t),:,\lambda\in\mathbb{R},,p(t)\text{是不超过} 4\text{次的实系数多项式}\}$$上的标准型。假如$A\in,M(n,\mathbb{C})$是对角阵，求$M(n,\mathbb{C})$上的算子
$${\rm ad}_A:X\mapsto[A,X]=AX-XB$$

92. 求出立方体（正四面体，正二十面体）的旋转子群的阶，并求出其正规子群。

93. 将定义在立方体顶点的复值函数的空间分别分解为关于它的对称群和旋转群的不可约不变子空间。

94. 将5维实线性空间分解为由基向量的循环排列生成的群的不可约不变子空间。

95. 将$x,y,z$的$5$次齐次多项式空间分解为关于旋转群$SO(3)$不变的不可约子空间。

96. 电话交换台的$3600$个用户的每一户平均一小时呼唤一次，请问，在给定一秒钟内接到$5$次或者更多次呼唤的概率是多少？估计在$(i,i+1)$秒中平均的时间间隔是多少。

97. 假设一质点在正半轴$x\geq0$的整点上随机游走，向右走一步的概率为$a$，向左走一步的概率为$b$，其他情形停在原地不动（当$x=0$时，代替向左走的是停留在原地不动）。试求出定态概率分布，同时求出经过很长时间以后$x$与$x^2$的数学期望（假设初始位置在原点）。

98. 在“伸手指”的游戏中，$N$个人站成一圈，同时举起他们的右手，每个人张开若干手指头，数出所有张开的手指头，然后从某个固定的领头者开始循环数数，数到前面的总数时就停止，这个人就是赢家。试问，当N~是多大时，一个适当选取的$N/10$个人中包含一个赢家的概率至少是$0.9$？又，当$N\to\infty$时，领头者获胜的概率是多少？

99. 游戏者手里捏起一枚$10$戈比或$20$戈比的钢币，让他的搭档猜，如果他猜对了就赢得这枚钢币，否则就输$15$戈比。试问这个游戏公平吗？两个参加者的最佳混合策略是怎样的？

100. 将一个边长为1的立方体沿各向同性分布的投影的随机方向投影到平面上，求出投影面积的数学期望。

某家公司的笔试题

1.设实数列$\{a_n\}$满足$a_{n+p}\leq a_{n}+a_{p}$对于任意的正整数$p,n$，证明：$$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{n}=\inf\limits_n \dfrac{a_n}{n}.$$
2.设实函数$f(x)$在$(0,1)$内一阶可导且满足$f(1)=1,f(0)=0$，设
\begin{equation*}\int_0^1|f'(x)-f(x)|\geq {u}.\end{equation*}求$u$的最大值。
3.给定一个圆求在这个圆里面随机选择四个点围成一个凸集的概率。