北京大学数学科学学院

2016年直博生摸底考试试题

1.证明题(30分,每小题15分)

(1) 若$f(x)$在实轴上可导且$f'(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有一个零点.

(2) 若$f(x)$处处二阶可导且$f''(x)>f(x),\forall x\in (-\infty,\infty)$,则$f(x)$至多有两个零点.

2.(30分)假设$\phi(x,y,z)$是原点$O$某个邻域上$C^\infty$函数,且$\phi,\phi_x,\phi_y,\phi_{xz},\phi_{yz}$在$O$点为$0$, $\phi_{xx},\phi_{yy}$在$O$点为$1$, $\phi_{xy}(O)=\frac12,\phi_{z}(O)=-\frac12$. $\phi(x,y,z)=0$的隐函数记为$z=z(x,y)$(已知$z(0,0)=0$).请讨论$z=z(x,y)$在$(0,0)$点附近的极值问题.

3.(40分)设$z=z(x,y)$是题2中的隐函数, $\Omega_\delta$是$(0,0)$点的$\delta$邻域,当$\delta$充分小时,证明如下极限存在并求之\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t\iint_{{\Omega _\delta }} {{e^{ - tz\left( {x,y} \right)}}\,dxdy} .\]

4.(20分)设$A$是一个$2$阶复方阵.考虑$2$阶复方阵的线性空间$M_2(\mathbb C)$上的线性变换

\[\phi_A:M_2(\mathbb C)\to M_2(\mathbb C);X \mapsto AX-XA.\]试确定$\dim (\ker (\phi_A))$的所有可能的取值.

5.（30分）对于有理数域$\mathbb Q$上的两个$n$阶方阵

试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$,使得$A=T^{-1}BT$.

6.(20分) $\mathbb R[x]$中有多项式$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$.试用系数$a_1,a_2,a_3,a_4$的关系式,给出$f(x)$能表达成某个不可约二次多项式$g(x)$之平方的充分必要条件.

7.(30分)欧氏平面上保定向的等距变换群的一个子群$G$,其中每一个非恒同的变换$g$都没有不动点,而且每一个平面上的点$p$在群$G$作用下得到的轨道(即点集$\{g(p)|g\in G\}$)若平面上都没有聚点.试证明$G$可以由一个或两个平移变换生成,即$G=\{n\alpha|n\in\mathbb Z\}$或$G=\{n\alpha+m\beta|n,m\in\mathbb Z\}$,其中$\mathbb Z$为整数集, $n,m$为任意整数, $\alpha,\beta$为线性无关的平移向量(也表示其对应的平移变换). $n\alpha+m\beta$即对应线性组合所表示的平移.

数学试题专用纸

2016年4月

一、i)设$D$为$\mathbb{R}^n$上的一个区域$f:D\to \mathbb{R}^n$为连续可微映射.试叙述关于映射$f$的逆映射定理(包括条件和结论).

ii)试利用逆映射定理证明不存在从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^1$的连续可微的单射.

二、给定$\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$上的向量场

\[\overrightarrow v  = \left( {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{y}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{z}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right).\]

记$\overrightarrow n$为$\mathbb{R}^3$中的单位球面$S^2$的单位外法向量场.试求积分

\[\int_{S^2}\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n d\sigma.\]

三、设定义在$\mathbb{R}$上周期为$2\pi$的函数$f$在区间$(-\pi,\pi]$上的取值为$f(x)=x$.

i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在$\mathbb R$上一致收敛.

ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数$\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$的和.

四、设$f(x)$在单位圆盘$|z|<1$上解析,满足$|f(z)|<1$,并且$f(\alpha)=0$,其中$|\alpha|<1$.

1.试证明当$|z|<1$时成立\[\left| {f\left( z \right)} \right| \le \left| {\frac{{z - \alpha }}{{1 - \overline \alpha  z}}} \right|.\]

2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.

五、给定$A\in M_n(\mathbb C)$.令$f(x)$为其特征多项式, $g(x)\in \mathbb C [x]$是一个整除$f(x)$的$n-1$次多项式.求$g(A)$可能的秩,并说明理由.

六、设$V$是复数域上的$n$维线性空间, $\sigma$为$V$上的一幂幺变换(即:存在正整数$k$使得$\sigma^k=1_V$, $1_V$是$V$上的恒等变换).设$W$为$V$的$\sigma-$不变子空间.证明$V$中存在$\sigma-$不变子空间$W'$使得$V=W\oplus W'$.

数学试题专用纸

2016年4月

一、设定义在$D\subset \mathbb R$上的函数$f$在$x_0$处解析,即存在$\delta>0$使得可以将$f$在开区间$I=(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset D$上展开成$x-x_0$的幂级数.

1.试证明$f$在$(x_0-\delta,x_0+\delta)$的任意点处解析;

2.若$f$在$I$上不恒等于零.试证明$f$在$I$中的零点是孤立的,即对任一$x_1\in I$,如果$f(x_1)=0$,则存在$x_1$的邻域$J=(x_1- \epsilon,x_1+\epsilon)\subset I$,使得$f$在$J$上只有$x_1$一个零点.

二、试求由椭球面$\frac{x^2}2+\frac{y^2}6+\frac{z^2}{27}=1$在第一象限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积.

三、记$S$是球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧.试利用Stokes定理计算下列积分\[\int_S {\frac{{x\,dy \wedge dz + y\,dz \wedge dx + z\,dx \wedge dy}}{{{{\left( {2{x^2} + 3{y^2} + 6{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} .\]

四、设$D$是$\mathbb R^n$中的一个区域, $K$是$D$中的一个紧集. $f:D\to \mathbb{R}^n$连续可微,满足$f$在$K$上是单射,且$\det(f')$在$K$上恒不为零.求证:存在$D$中包含$K$的开集$U$以及$\mathbb{R}^n$中包含$f(K)$的开集$V$,使得$f:U\to V$是微分同胚,且其逆$f^{-1}$连续可微.

五、设$A,B$是数域$F$上$n$阶方阵,满足$AB-BA=aB,a\in F$,且$B$不是幂零矩阵.试证明$a=0$.

六、已知$X_1=(1,-2,1)^t,X_2=(-1,a,1)^t$分别是$3$阶不可逆实对称矩阵$A$的属于特征值$1,-1$的特征向量,试求$A$.

七、假设$V$为一有限维向量空间, $T:V\to V$为一可对角化的线性变换.又设$W\subset V$为$T$的一个不变线性子空间.试证明$T$在$W$上的限制也是可对角化的.

武汉大学2015年基础数学复试笔试试题

1.导函数极限定理, $f'(0)$存在, 而$\lim_{x\to0} f'(x)$不存在的例子.

事实上,可以考察

\[f\left( x \right) = \begin{cases}{x^2}\sin \frac{1}{x}, &x \ne 0\\0, &x = 0\end{cases}.\]

2.$\{a_n\}$是正项数列且单增.证明: $\sum_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} - 1} \right)}$收敛$\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$有界.

3.设$A$是$n$阶可逆复方阵，证明存在分解

\[A=UT,\]

其中$U$是酉矩阵，$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵，并证明这种分解的唯一性。

4.讨论微分方程过点y=0的解的存在性和唯一性，其中$\alpha>0$.

\[\frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha}.\]

5.证明含参变量积分

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy\]

关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛，在$0<x<+\infty$上非一致收敛。

6.利用数学归纳法证明$n$维空间中的$n+1$面体${B_{n + 1}}:\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i}} \right)}^{1/\alpha }}} \le 1,\alpha > 0$的体积为\[V = \frac{{{2^n}{\alpha ^{n - 1}}{{\left[ {\Gamma \left( \alpha \right)} \right]}^{n - 1}}\Gamma \left( {\alpha + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {\alpha n + 1} \right)}},\]

其中$\Gamma$为伽马函数.

1.山东大学---徐老师：0531-88364197，网站：http://www.yz.sdu.edu.cn/getNewsDetail.site?newsId=200330f8-6e1c-45c2-b4bb-65262be64252

参考：http://www.zhihu.com/question/28896781

2.

2015年12月26-27日，2016年考研。

2016年2月29日，莱昂纳多终获奥斯卡影帝。

2016年3月9日，李世石首战惜败AlphaGo，人类惜败人工智能惹争议。

2016年3月11日4点半左右，2016年全国硕士研究生招生考试考生进入复试的初试成绩基本要求公布。

2016年3月13日，李世石第四战胜AlphaGo。

2016年3月14日，中国科学院大学数学科学学院公布2016年硕士研究生复试规程。

2016年3月15日9点左右，中国科学院数学与系统科学研究院公布关于2016年招收硕士研究生复试通知。

2016年3月15日中午，某知名教授发来邀请。

2016年3月15日10点左右，关老师发来复试通知，被QQ邮箱装进垃圾箱。

2016年3月16日，跑到武大赏花。

2016年3月21日上午，到达北京中关村。

2016年3月21日下午，中科院数学系统院系统控制重点实验室主任和导师找我洗脑。

2016年3月22日下午，中科院数学系统院数学所，计算所，应用所，系统所基础室面试。

2016年3月22日上午，中关村医院体检。

2016年3月23日下午，中科院数学系统院系统所其余实验室面试，晚上拒绝了那位教授。

2016年3月24日，告别导师，回学校等录取通知。

2016年4月8日上午8点半，邮箱收到拟录取通知。

2016年4月11日，回大和平填写政审表。

2016年4月12日，官网公布2016年硕士研究生拟录取名单。

2016年4月28日，收到调档函，康哥帮我取的。

2016年4月29日，回大和平将调档函拿给郝导，被告知等班长通知，进行统计。

2016年6月18日下午4点，EMS快递到了一号公寓，但我在考六级。

2016年6月19日上午9点半，科讲门前取EMS，后来发现少了学生证。

曾氏名人记：

1.曾繁仁（1941.1—），安徽泾县人。著名美学家，当代中国生态美学的奠基人，山东大学终身教授。曾先后担任山东大学党委书记与校长等职。现任教育部人文社科重点研究基地“山东大学文艺美学研究中心”主任，国家重点学科山东大学文艺学学科学术带头人。

设$x_1=\frac{p+1}{p},p>1,x_{n+1}=\frac{x_n-1}{\ln x_n}$.

（1）证明$\{x_n\}$为递减数列;

（2）证明\[\frac{1}{{p + 1}} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} < \ln \left( {{x_1}{x_2} \cdots {x_n}} \right) < \frac{1}{p} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}}.\]

证.（1）首先利用$\ln(1+x)\leq (x>-1)$可知

\[{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n} - 1}}{{\ln {x_n}}} \ge \frac{{{x_n} - 1}}{{{x_n} - 1}} = 1.\]

又$x_1=\frac{p+1}{p}>1$,显然有$x_n>1$.再利用$\ln (1+x)\geq \frac x{x+1}$,我们有

\[\frac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \frac{{{x_n} - 1}}{{{x_n}\ln {x_n}}} < \frac{{{x_n} - 1}}{{{x_n} \cdot \frac{{{x_n} - 1}}{{{x_n}}}}} = 1.\]

因此$\{x_n\}$为递减数列.

（2） 先证明左边不等式.首先有

\[\frac{{\ln {x_{n + 1}}}}{{\ln {x_n}}} = \frac{{\ln {x_{n + 1}}}}{{\ln {x_n}}} = \frac{{\ln \left( {\frac{{{x_n} - 1}}{{\ln {x_n}}}} \right)}}{{\ln {x_n}}} > \frac{1}{2},\]

即

\[\sqrt {{x_n}} - \frac{1}{{\sqrt {{x_n}} }} > \ln {x_n}.\]

这只要在不等式$\frac{1}{2}\left( {x - \frac{1}{x}} \right) > \ln x,x > 1$中令$x=\sqrt{x_n}>1$便可得到.又利用$\frac x{x+1}\leq \ln (x+1)\leq x$可知\[\frac{1}{{p + 1}} < \ln {x_1} = \ln \left( {1 + \frac{1}{p}} \right) < \frac{1}{p}.\]

于是

\[\ln {x_n} > \frac{1}{2}\ln {x_{n - 1}} > \cdots > \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\ln {x_1} > \frac{1}{{p + 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}.\]

将上述不等式前$n$项累加便可得到

\[\frac{1}{{p + 1}} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} < \ln \left( {{x_1}{x_2} \cdots {x_n}} \right).\]

接着证明右边不等式.由不等式

\[\ln x > \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}},\quad x > 1\]

可知\[{x_{n + 1}} = \frac{{{x_n} - 1}}{{\ln {x_n}}} < \frac{{{x_n} + 1}}{2}.\]

因此\[{x_{n + 1}} - 1 < \frac{{{x_n} - 1}}{2} \Rightarrow {x_n} \le 1 + \frac{1}{{p{2^{n - 1}}}} \Rightarrow \ln {x_n} < \frac{1}{{p{2^{n - 1}}}},\]

从而有

\[\ln \left( {{x_1}{x_2} \cdots {x_n}} \right) < \frac{1}{p} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}}.\]

伯克利一主页，里面很多资料https://math.berkeley.edu/~giventh/

第一道是2009年江西省中考数学样卷里出现的题，以前和解答一起整理过，后来因电脑装系统丢了。犹记得当时初三的时候想破脑袋也不知道怎么证，后来借了老师的答案一看后顿悟了！那时觉得此题奥妙无穷！

此题是通过度娘，在以下链接中找到的，另一份文档有它的改编题，参考：http://www.doc88.com/p-7166254788327.html以及http://wenku.baidu.com/view/0e453908b9d528ea81c7799e.html?from=search

另一道题忘了，大概和如下题的第三问类似：

来自http://zhidao.baidu.com/question/617394854332280692.html，

也可参考http://wenku.baidu.com/view/c9caeabb19e8b8f67c1cb998.html?from=search

此题当年考试的时候一直不会，考完后想了很久也没思路，后来开夜车的时候刘C告诉我的解答，当时试了试，确实可行！