关于中科院数学系统院考研事宜（续）
作为跨考过来的一员，也在中科院数学系统院这边呆了一段时间，借着硕转博考试前的一些闲暇时间，再写一篇考研鸡汤。
首先是你得选好报考单位，中国科学院大学（简称国科大）这边有三个数学的机构，包括中国科学院数学与系统科学研究院（也就是我所说的中科院数学系统院，在中关村校区），中国科学院大学数学科学学院（指本部，在玉泉路校区），中科院武汉物理与数学研究所（显然在武汉），关于这几个机构有啥研究方向和导师名单，请有心人自行百度官网查询。另外，这几个机构的数学学生研一都在雁栖湖校区（基础数学研一都在玉泉路校区）进行集中教学，研二才回各自的研究所。
下面我具体介绍下数学系统院这边的情况，这边有四个研究所，分别为数学研究所（数学所），应用数学研究所（应用所），计算数学研究所（计算所），系统科学研究所（系统所）。我就在这个系统所，此所很迷，包括了我们实验室的系统理论和控制论方向，也有统计学，计算机科学，管理科学，金融学等方向。除此之外，吴文俊老先生的数学机械化中心也在我们所，没想到吧，关于这个所，我了解的是他们得学很多代数课程，所以一般也归到基础数学的行列。
如果你很希望加入我们院，成为Xionger的师弟师妹。请大家把握住下面几次机会。第一次，便是数学夏令营，一般在7月底放暑假前的几天吧，这个数学系统院官网会贴通知进行报名。夏令营期间有竞赛考试选拔出前几名，考试内容为数分高代，我微信公众号有这几年的真题。考试没通过的同学会让你进行招生考试或者考研。
第二次，数学系统院会派一些老师去部分985高校进行招生考试，比如说东南大学，厦门大学，中山大学，吉林大学，北京科技大学等等。这个招生考试一般来说是数院院长，副院长那边通知的吧，不会挂到网上，所以如果你是别的学校的，请尽早打探好情报，并问清楚你是否也能参加考试。笔试完还有面试，中科院的面试相对而言还是比较轻松，这边的老师普遍和蔼可亲，以人为本。希望同学们尽可能实事求是，充分发挥出自己的真实水平。
最后一次机会便是考研，虽然说考数分高代，但是高代题稍微难点，数分还可以。由于报考人数多，考研相对而言难度大点，这对跨专业考研的同学来说是福音。另外我也推荐跨考的同学，尽可能报考系统所的有关方向，这是经验也是真相。系统所相对而言比较欢迎跨考的学生，在这里也不是水数学，很多方向研究起来都得用大量的数学，甚至是一些前沿而热门的工具，希望大家不要有所偏见。比如我们控制论方向的，可以参考郭雷老师写的书《控制理论导论》。另外，这边的管理科学，统计学，应用统计，金融学貌似也用大量数学知识，希望经管专业的同学读研前有所准备。
如果你铁了心读基础数学，做黎曼猜测，那中科院是一个很好的选择。请你务必好好学习基础课程，打好数学功底，尽量拿到保研名额，参加各类数学竞赛提高软实力。重要的事情说三遍，尽量保研，保研，保研！
最后说一句，我之所以这么古道热肠，也是因为经历过一些难得的经历，希望大家好好珍惜。情报再多，也比不了你自己去实践，也比不上你的真才实学。但行好事，莫问前程；你若盛开，清风自来！祝好！
记国科大一些给力的老师们.
张三国老师在高等数理统计课上说：好，已经走了48个人，我们的目标是再走48个人。同学们戏称为：被三国作业支配的恐惧，三国杀，不是英雄，不读三国。
杂题
设函数$~f(x)$ 在$~[a,b]$ 上连续,但不为常数.求证:$~\exists \xi\in(a,b)$,使$~f(x)$ 在$~\xi$ 不取极值.
注意到 $f$ 不是常数函数, 并且 $f\in C[a,b],$ 所以 $f$ 的值域 $R$ 是一个有限闭区间.
先将 $f$ 开拓定义到整个 $\mathbf R$ 上: 对 $x\leq a,$ 让 $f(x)=f(a);$ 对 $x\geq b,$ 让 $f(x)=f(b).$ 让 $$C=\{f(x);\ \hbox{$x$ 是 $f$ 在 $\mathbf R$ 中的极小值点}\},$$ 下面来证明 $C$ 是一个至多可列集.
任给 $c\in C,$ 存在 $x\in\mathbf R$ 以及 $u_x,v_x\in\mathbf Q,$ 使得 $$u_x<x<v_x,\ f(y)\geq f(x)=c,\ \forall y\in(u_x,v_x).$$这样就得到了一个从 $C$ 到 $\mathbf Q\times\mathbf Q$ 的单射 $c\mapsto(u_x,v_x)$, 故 $C$ 是至多可列集.
类似可证 $f$ 极大值的全体也是至多可列集. 从而 $f$ 的极值的全体是 $R$ 的至多可列子集. 这就完成了证明.
含奇点的第二型曲面积分计算
谢惠民下册上的一道题:求
解.注意到球面上的圆$x=0,y^2+z^2=2z$是上述积分的奇点,我们考察两半球$\Sigma_1:(x-\varepsilon)^2+y^2+(z-1)^2=1,x\geq\varepsilon$和$\Sigma_2:(x+\varepsilon)^2+y^2+(z-1)^2=1,x\leq -\varepsilon$, 其中$\varepsilon$为足够小的正数.并记$\Gamma_1$为圆盘$x=\varepsilon,y^2+(z-1)^2=1$,而$\Gamma_2$为圆盘$x=-\varepsilon,y^2+(z-1)^2=1$.
利用球的极坐标方程
\[x=\varepsilon+r\sin \varphi \cos \theta ,y=r\sin \varphi \sin \theta ,z=r\cos \varphi +1,\quad 0\leq \varphi\leq \pi,-\pi/2\leq\theta\leq \pi/2,0\leq r\leq 1\]
以及
\[x=-\varepsilon+r\sin \varphi \cos \theta ,y=r\sin \varphi \sin \theta ,z=r\cos \varphi +1,\quad 0\leq \varphi\leq \pi,\pi/2\leq\theta\leq 3\pi/2,0\leq r\leq 1\]
由Gauss公式可知
I am here,because U are here.
中国科学技术大学第七届大学生数学夏令营试题
中国科大第七届大学生数学夏令营
数学分析试卷
考生姓名 所在学校 得分
一、(15分)
1.试用$\varepsilon-\delta$语言证明: $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac1{x^2}=0$;
2.设函数
\[f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac1{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0);\\0,&(x,y)= (0,0).\end{cases}\]
试求$f'_x(0,0)$和$f'_y(0,0)$.
二、(30分)
1.求函数$f(x)=x^2e^x$的$10$阶导数$f^{(10)}(x)$;
2.将函数$f(x)=\ln (1+\sin x)$在$x=0$处Taylor展开到$3$阶,带Peano余项;
3.求$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$;
4.求$\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$.
三、(30分)
1.求平面曲线$\displaystyle x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$的长度;
2.设$a,b>0$,求平面曲线段$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\, (a\leq x\leq a+b)$绕$x$轴旋转所得旋转体的体积;
3.求$\displaystyle\int_\Sigma x^3d\sigma$,其中$\Sigma$是球面$x^2+y^2+z^2=R^2,R>0$, $d\sigma$是曲面的面积元;
4.设$\mathbb{R}^3$中曲线$\Gamma$是曲面$f(x,y,z)=0$和曲面$g(x,y,z)=0$的交线,且变量$x$可以作为它的一个参数,求曲线$\Gamma$的切向量.
四、(15分)
1.设函数$f(x)=\arcsin (\cos x)$,将$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上展开成Fourier级数,并讨论此Fourier级数的收敛性;
2.求向量场$\vec{V}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$在曲面$S$上的第二型曲面积分,这里设曲面$\displaystyle S:\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\right\}$,正向为外法向.
五、(15分)
设$(a,b)$是有界开区间, $f(x)$是定义在$(a,b)$上的一致连续函数.证明$f(a^+)$和$f(b^-)$存在有限;并举例说明当$b=+\infty$时上述结论不成立.
六、(15分)
设定义在有界闭区间$[a,b]$上的函数$f(x)$满足$f''(x)>0$,且$f(a)>0,f(b)<0$.
1、证明存在唯一的$c\in (a,b),f(c)=0$;
2、设$x_0\in (a,b),f(x_0)>0$,定义数列$\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}(n=0,1,2,\ldots)$.证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=c$.
七、(15分)
设$f(x)$是闭区间$[0,1]$上的Riemann可积函数, $\lambda>0$是定数.定义$D_\lambda (f)=\{x\in [0,1] |\,\omega_f(x)\geq\lambda\}$,其中$\omega_f(x)$为函数$f$在点$x$的振幅.证明:对任意$\varepsilon>0$,存在有限个开区间$I_1,I_2.\ldots,I_m$满足
(1) $\displaystyle D_\lambda (f)\subset \bigcup_{k=1}^m I_k$;
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^m |I_k|<\varepsilon$,这里$|I_k|$是区间$I_k$的长度.
八、(15分)
设平面区域$D=\left\{(x,y)|\, x^2+y^2\leq 1\right\}$,函数$f(x,y)\in C^3(D)$且$f(0,0)=0$.
1.试证明:存在$\phi (x,y),\psi (x,y)\in C^2 (D)$满足
\[f(x,y)=x\phi (x,y)+y\psi (x,y);\]
2.若$\nabla f(0,0)=0$,试证明:存在$a(x,y),b(x,y),c(x,y)\in C^1(D)$满足\[f(x,y)=x^2a (x,y)+2xyb(x,y)+y^2 c(x,y);\]
3.设$\nabla f(0,0)=0$且$f(x,y)$的Hessian矩阵在$(0,0)$点正定.试证明:在原点附近存在参数变换$(u,v)\to (x,y)=\Phi (u,v),\Phi (0,0)=(0,0)$,使得\[f(u,v)=f\circ \Phi (u,v)=u^2+v^2.\]
中国科学技术大学2017大学生数学夏令营
线性代数与解析几何
说明：考试时间180分钟，试卷满分150.
一、填空题(每空5分，共40分，结果须化简)
1.设四面体$ABCD$的四个顶点坐标分别为$A(1,2,3),B(-1,0,2),C(2,4,5),D(0,-3,4)$,则$ABCD$的体积为 .
2.椭圆$x^2-xy+y^2-x=1$长半轴的长度为 .
3.直线$l:x-1=y=z$绕$z$轴旋转所得旋转面的方程为 .
4.设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三次方程$x^3+2x^2+4x-1=0$的三个根,则行列式$\left| \begin{matrix}\alpha _1& \alpha _2& \alpha _3\\\alpha _2& \alpha _3& \alpha _1\\\alpha _3& \alpha _1& \alpha_2\\\end{matrix} \right|=$ .
5.设矩阵$A=\left( \begin{matrix}1& \sqrt{3}\\-\sqrt{3}&1\\\end{matrix} \right)$,则$A^{2017}=$ .
6.设$\mathbb{R}^4$中向量组$\alpha_1=(1,2,-1,2),\alpha_2=(a,-4,1,0),\alpha_3=(2,-1,0,1)$的秩为$2$,则$a=$ .
7.设$\mathbb{R}^3$中线性变换$\mathcal{A}$将向量$\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(0,0,1)$分别映射为向量$\beta_1=(-1,1,6),\beta_2=(-1,1,2),\beta_3=(0,-1,2)$,则$\mathcal{A}$在标准基$\mathbf{e_1}=(1,0,0),\mathbf{e_2}=(0,1,0),\mathbf{e_3}=(0,0,1)$下的矩阵为 .
8.二次型$Q(x,y,z)=\lambda (x^2+y^2+z^2)+3y^2-4xy-2xz+4yz$正定的充要条件是$\lambda$满足 .
二、判断题(每小题5分，共35分.判断下列叙述是否正确,并简要说明理由)
1.三维空间中向量$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$共面当且仅当$\mathbf{a}\times\mathbf{b},\mathbf{b}\times\mathbf{c},\mathbf{c}\times\mathbf{a}$共面.
2.若实方阵$A$满足$\det (A)>0$,则存在实方阵$B$,使得$B^2=A$.
3.设向量组$\alpha_1,\ldots,\alpha_m$线性无关,且它们可以由向量组$\beta_1,\ldots,\beta_m$线性表示,则$\beta_1,\ldots,\beta_m$也线性无关.
4.设$F^{n\times n}$是$n$阶方阵全体按矩阵加法与数乘构成的线性空间. $W$是$F^{n\times n}$中可逆方阵全体构成的集合,则$W$是$F^{n\times n}$的子空间.
5.设$n$阶复方阵$A$与$B$相似,则它们的最小多项式相同.
6.对于任意实方阵$A$,存在可逆实方阵$P$,使得$P^{-1}AP=A^T$.
7.任何实方阵都可以分解为一个正交阵与一个上三角阵的乘积.
三、解答题(请从以下5题中任选4题，共75分.请给出详细解答过程)
1.在空间直角坐标系中,求过原点的平面$\pi$,使得它与柱面$S:3x^2-2xy+3y^2-10x-2y+10=0$的交线为圆.
2.给定$n$阶方阵$A=(a_{ij})$,其中$a_{ii}=2i+1,i=1,2,\ldots,n;a_{ij}=i+j\, (i\neq j),i,j=1,2,\ldots,n$.求矩阵$A$的行列式及逆矩阵.
3.设$n$阶复方阵$A,B$满足$AB=BA$.证明:存在复向量$\alpha$既是$A$的特征向量,也是$B$的特征向量.
4.给定方阵$A\in F^{n\times n}$,定义$F^{n\times n}$上的映射$\mathcal{A}:X\longrightarrow AX-XA$.
(a)证明$\mathcal{A}$是线性映射,并且$\mathcal{A}$不可逆;
(b)假设$A$可以对角化,则$F^{n\times n}=\mathrm{Ker}(\mathcal{A})\oplus \mathrm{Im}(\mathcal{A})$是否成立?请说明理由.
5.设$A$是$n$阶实对称正定方阵, $K$是$n$阶非零反对称方阵.证明: $\det (A+K)>\det (A)$.
与调和数列有关的级数计算
几个重要定理
1.Mittag-Leffler's theorem.
设$\Omega$是平面内的开集, $A\subset \Omega$, $A$在$\Omega$内没有极限点,且对每个$a\in A$,对应有一个正整数$m(\alpha)$和一个有理函数$$P_\alpha (z)=\sum_{j=1}^{m(\alpha)}c_{j,\alpha}(z-\alpha)^{-j},$$则在$\Omega$内存在一个亚纯函数$f$,它在每个$\alpha\in A$处的主要部分是$P_\alpha$且在$\Omega$内没有其它极点.详见Rudin实分析与复分析P216.
这里有亚纯函数极展开的一些例子.
例：证明$$\int_{0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}P_{k+1}}{k!}x^{k}} \right)dx}=2,$$
Now we know that $$B(a,b)=\int^{\infty}_0\frac{t^{a-1}}{(1+t)^{a+b}}dt$$
与双重对数函数有关的积分
求$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x^2}{1+\cos ^2x}dx}.$$
对于$|b|<a$,注意到
令$a=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$和$b=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}$,我们有
求$$\int_0^{\pi}{\frac{x^2}{1+\sin ^2x}dx}.$$
令$t=x-\frac\pi2$,我们有
求$$\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\int_0^1{\frac{\left( 1-x^2y^2z^2t^2 \right) dxdydzdt}{\sqrt{\left( 1-x^2 \right) \left( 1-y^2 \right) \left( 1-z^2 \right) \left( 1-t^2 \right) \left( 1+x^2y^2z^2t^2 \right)}}}}}}.$$
解.原积分等于$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1-\cos ^2\alpha \cos ^2\beta \cos ^2\theta \cos ^2\gamma}{\sqrt{1+\cos ^2\alpha \cos ^2\beta \cos ^2\theta \cos ^2\gamma}}d\alpha d\beta d\theta d\gamma}}}}.$$
由于$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\binom{-1/2}{n}x^n}=1+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n\left( 2n-1 \right) !!}{2^nn!}x^n},$$
因此
由于$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos ^{2n}xdx}=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right)}{2\Gamma \left( n+1 \right)}=\frac{\sqrt{\pi}}{2n!}\cdot \frac{\left( 2n-1 \right) !!}{2^n}\sqrt{\pi}=\frac{\pi}{2}\frac{\left( 2n-1 \right) !!}{\left( 2n \right) !!},$$我们有
\begin{align*}\int_0^{\pi}{\sqrt{\tan \frac{\theta}{2}}\ln^2 \left( \sin \theta \right) \text{d}\theta}&=\int_0^{\infty}{\frac{2\sqrt{t}}{1+t^2}\ln^2 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) \text{d}t}\hspace{0.5cm}t=\tan \frac{\theta}{2}\\&=\int_0^{\infty}{\frac{2\sqrt{1/t}}{1+t^2}\ln^2 \left( \frac{2}{t+1/t} \right) \text{d}t}\\&=\int_0^{\infty}{\frac{\sqrt{1/t}+\sqrt{1/t^3}}{t+1/t}\ln^2 \left( \frac{2}{t+1/t} \right) \text{d}t}\\&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{2}{x^2+2}\ln^2 \left( \frac{2}{x^2+2} \right) \text{d}x}\\&=2\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\ln^2 \left( \cos ^2u \right) \text{d}u}~~x=\sqrt2\tan u\\&=8\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\ln ^2\sin u\text{d}u}=8\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\left( -\ln 2-\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\cos \left( 2kx \right)}{k}} \right)^2 \text{d}u}\\&=8\sqrt{2}\left( \int_0^{\frac{\pi}{2}}{\ln ^22\text{d}u}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{k}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1+\cos 4kx}{2}\text{d}x}} \right)\\&=4\sqrt{2}\pi \ln ^22+2\sqrt{2}\pi \zeta \left( 2 \right) =\frac{\sqrt{2}}{3}\pi ^3+4\sqrt{2}\ln^2 2.\end{align*}
$f$是$[0,1]$上严格单增的凸实值连续函数,满足$f(0)=0,f(1)=1$,且$g(x)$满足$g(f(x))=x$对任意$x\in[0,1]$成立,证明
\large{\textbf{\textcolor{blue}{证明}}} 首先我们有凸函数的等价定义:
注意到$g(x)=f^{-1}(x)$是$f(x)$的反函数,只需要证明$f(x)f^{-1}(x)\leqslant x^2$即可,即
求最大的常数$b>0$,使得对任意$a>0$和一切$(1,+\infty)$上连续可导且单增的实值函数$f(x)$满足$f(x)\leqslant x^{2a}\ln^bx,x\in(1,+\infty)$就有积分$\displaystyle{\int_1^{\infty}\frac{x^{2a-2}}{f'(x)}\mathrm{d}x=+\infty}$.
\large{\textbf{\textcolor{blue}{解}}} 首先如果$b>1$,我们取$f(x)=x^{2a}\ln^{b}x$,则求导后很容易得到积分$$\displaystyle{\int_1^{\infty}\frac{x^{2a-2}}{f'(x)}\mathrm{d}x<+\infty}$$
\[\begin{split}& (1-\frac{f}{M})(1-\frac{m}{f}) \geq 0 \Longrightarrow 1+\frac{m}{M} \geq \frac{f}{M}+\frac{m}{f}\\\Longrightarrow & 1+\frac{m}{M} \geq \frac1{M}\int^{1}_{0}{f}dx +m\int^{1}_{0}{\frac1{f}}dx \geq 2\sqrt{\frac{m}{M}\int^{1}_{0} \frac1{f}dx\int^{1}_{0}{f}dx}\\\Longrightarrow & \int^{1}_{0} \frac1{f}dx\int^{1}_{0}{f}dx\leq \frac{(m+M)^2}{4mM}.\end{split}\]
LaTeX等号中间加问号
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\newcommand\fhcd[3][bin]{
\csname math#1\endcsname{\mathchoice
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\settowidth\@tempdimb{$\m@th#1{#3}$}
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%自定义 等号与问号重叠
\newcommand\dengwen{\fhcd[bin] ? =}
\begin{document}
例如 $f \dengwen g=h$?
\begin{equation*}
A \dengwen B
\end{equation*}
\end{document}
%%\usepackage{extarrows}：
$$ A \xlongequal{\quad\quad}B $$
$$ A\xlongequal[sub-script]{super-script}B $$
Problems of the Miklós Schweitzer Memorial Competition
1、AOPS论坛
2、匈牙利语版本
3、英文版本
4、其它试题
也就是求\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{\prod\limits_{k = 0}^n {\left( {a + kd} \right)} }}} .\]
解.首先有$$\prod_{k=0}^n{\frac{1}{a+kd}}=\frac{\Gamma \left( \frac{a}{d} \right)}{d^{n+1}\Gamma \left( \frac{a}{d}+n+1 \right)},$$
又因为$$\gamma \left( s,x \right) =\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^se^{-x}x^k}{s\left( s+1 \right) ...\left( s+k \right)}}=x^s\,\Gamma \left( s \right) \,e^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{\Gamma \left( s+k+1 \right)}},$$我们有
$g(x) = x^a f(x^d)$ satifies $g'(x) = x^{a-1} + x^{d-1} g(x)$. Solve the associated differential equation and conclude.
令$a\in (0,\pi)$,设$n$为正整数.证明$$\int_0^{\pi}{\frac{\cos \left( nx \right) -\cos \left( na \right)}{\cos x-\cos a}dx}=\pi \frac{\sin \left( na \right)}{\sin a}.$$
Since
Thus $$ f_{2n}\left(\frac {\pi}{2n + 1}\right) < \frac {\pi}{2n + 1}\cdot\frac {2\pi}{2n + 1} - \frac {\pi}{2(2n + 1)} < 0.$$
痘痘和饮食
痘痘和食物的关系是一个经久不衰的讨论话题，而且观点学说矛盾冲突。其中一个原因在于，讨论的前提没有确定下来。是在科学的框架下讨论，还是在经验的视野内讨论，对结论会有很大影响。从科学的角度来说，痘痘和饮食的关系尚不明确；从经验的角度来说，要保持清淡饮食。
科学的角度
目前关于痤疮和饮食关系的研究文章，其措辞绝大多数是很谨慎的，都是用“或者”、“也许”、“可能”这种语气虚弱的词。例如美国皮肤病学会2016年发布”Guidelines of care for the management ofacne vulgaris”《寻常痤疮治疗指南》，对痤疮与饮食关系的结论是：
1、基于目前的证据，没有特别的饮食调整推荐用于治疗痤疮。
2、研究显示，高血糖指数的饮食可能与痤疮有关系
3、有限的初步研究提示，某些饮食（特别是脱脂牛奶）可能影响痤疮
参考：叶剑青理性护肤学堂：这里
