Legendre 加倍公式的一个证明
国科大硕转博公共基础课考试试题
中国科学技术大学2016年秋季博士资格考试试卷
LECTURE NOTES OF WILLIAM CHEN
LECTURE NOTES OF WILLIAM CHEN
https://rutherglen.science.mq.edu.au/~maths/notes/wchen/ln.html
两道积分习题
1.设$f:[0,1]\to\mathbb{R}$连续,求极限$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1 f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)dx_1dx_2\cdots dx_n.$$
解法一.设$|f|$最大值为$M$.对任何$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得当$|x-1/2|<\delta$时,有$$\left|f(x)-f(\frac{1}{2})\right|<\varepsilon.$$
\begin{align*}&\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq &\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\+&\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|<\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq&2M\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{[0,1]^n}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\=&\frac{M}{6n\delta^2}+\varepsilon.\end{align*}
因此$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\leq \varepsilon.$$
令$\varepsilon\rightarrow0$即可.
解法二.由科尔莫格罗夫强大数定律得$$\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}\mathop \to \limits^{a.s.} E\left( {{X_i}} \right) = \frac{1}{2}\left( {n \to + \infty } \right).$$
又因为$f(x)$连续有界,由控制收敛定理可知
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E\left( {f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).$$
2.求证$$\int_0^1\prod_{n=1}^\infty(1-x^n)dx=\frac{4\pi\sqrt3}{\sqrt{23}}\frac{\sinh\frac{\pi\sqrt{23}}3}{\cosh\frac{\pi\sqrt{23}}2}.$$
解.注意到Pentagonal number theorem,我们知$$\int_{0}^{1}\prod_{n\geq1}\left(1-x^{n}\right)dx=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{k}\int_{0}^{1}x^{k\left(3k-1\right)/2}dx=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{k}\frac{2}{3k^{2}-k+2}.$$再利用求和公式可知$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(-1\right)^{n}f\left(n\right)=-\sum\left\{ \pi\csc\left(\pi z\right)f(z) \textrm{ 在 } f\left(z\right)\textrm{ 的极点上的留数}\right\}.$$而极点为$z=\frac{1}{6}\left(1\pm i\sqrt{23}\right)$,由此求得.
中科院数学系统院2016年夏令营试题
中国科学院数学与系统科学研究院
2016 年大学生数学夏令营考试试卷
考生须知：
1. 本试卷满分为100 分，全部考试时间总计120 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1.(10分)确定矩阵分别为
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&0&{ - 1}\\3&{ - 1}&3\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&0\\3&1&1\\0&1&5\end{array}} \right) \text{的二次型在下列域上是否等价：}\]
(a)实数域.(b)有理数域?
2.(10分)设$W_1,W_2$是$V$的子空间,如果$W_1\cup W_2=V$.证明：或者$V=W_1$,或者$V=W_2$.
3.(15分)设$V$是$n$维实向量空间, $\varphi:V\to V$是线性映射.
$\chi_\varphi(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_n),(\lambda_i\in \mathbb C)$是$\varphi$的特征多项式.
试证明：或者$\lambda_i\in \mathbb R(1\leq i\leq n)$,或者$V$有一个$2$维不变子空间$W\subset V$,使$\varphi|_W$的特征多项式不可约.
4.(15分) 设$(V,<,>)$是$n$维欧氏空间, $V^\ast$表示由所有线性函数$V\to \mathbb R$组成的对偶空间.试证明:
（1）映射$V\to V^\ast,v\mapsto<\cdot,v>$是线性同构.
（2）对任意线性映射$f:V\to V$.验证映射\[f^\ast:V^\ast\to V^\ast.f^\ast(\ell)=\ell\cdot f\]是对偶空间的线性映射.
（3）对任意线性映射$\varphi:V\to V$,存在唯一线性映射$\varphi^\ast: V\to V$满足:$<\varphi(x),y>=<x,\varphi^\ast(y)>,\forall x,y\in V$.
5.(10分) 证明：当$x\to 1^-$时,\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{n^2}}}} \sim \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{1 - x}}} .\]
证明：由Lagrange中值定理可知\[{x^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < \int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} = {x^{{\xi ^2}}} < {x^{{n^2}}},\quad \xi \in \left( {n,n + 1} \right).\]
因此\[\int_0^\infty {{x^{{t^2}}}dt} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} } < \sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{n^2}}}} \]且\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{n^2}}}} = 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} < 1 + \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int_n^{n + 1} {{x^{{t^2}}}dt} } = 1 + \int_0^\infty {{x^{{t^2}}}dt} ,\]
即\[\int_0^\infty {{x^{{t^2}}}dt} < \sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^{{n^2}}}} < 1 + \int_0^\infty {{x^{{t^2}}}dt} .\]
而\[\int_0^\infty {{x^{{t^2}}}dt} = \int_0^\infty {{e^{{t^2}\ln x}}dt} = \frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }}\int_0^\infty {{e^{ - {u^2}}}du} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }}.\]
注意到\[\ln t \sim \frac{{t - 1}}{t},\quad t \to {1^ + }\]
我们有\[\ln \frac{1}{x} \sim 1 - x,\quad x \to {1^ - }\]
因此\[\int_0^\infty {{x^{{t^2}}}dt} = \frac{{\sqrt \pi }}{2}\frac{1}{{\sqrt {\ln \frac{1}{x}} }} \sim \frac{{\sqrt \pi }}{2}\frac{1}{{\sqrt {1 - x} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{{1 - x}}} .\]
6.(10分) 证明：圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小.
证明：不妨假设此圆是单位圆,其外切三角形周长为$2p=a+b+c$.由海伦公式可知$$S=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$故$$2p=a+b+c=2(p-a)(p-b)(p-c)\leqslant \frac{2}{27}p^3.$$因此$$S=p\geqslant\sqrt{27},$$当且仅当$a=b=c$时取等成立.
7.(15分)设$\varphi(x)$表示实数$x$与其最近整数间之差的绝对值.令\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\varphi(4^k x)}{4^k}.\]证明：
（1）(5分). $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上处处连续;
（2）(10分). $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上处处不可微.
8.(15分)设$f(x)\in C[0,+\infty)$,且对任何非负实数$a$,有\[\lim_{x\to\infty}(f(x+a)-f(x))=0.\]证明：存在$g(x)\in C[0,+\infty)$和$h(x)\in C^1[0,+\infty)$,使得: $f(x)=g(x)+h(x)$,且满足\[\lim_{x\to\infty}g(x)=0,\lim_{x\to\infty}h'(x)=0.\]
利用定积分证明组合恒等式
利用定积分证明恒等式：
\[C_n^1 - \frac{1}{2}C_n^2 + \cdots + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{n}C_n^n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}.\]
证.首先注意到\[{\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{k}C_n^k{x^k}} } \right)^\prime } = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{{\left( { - x} \right)}^{k - 1}}} = \frac{1}{{ - x}}\sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{{\left( { - x} \right)}^k}} = \frac{1}{{ - x}}\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n} - 1} \right].\]
因此\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{k}C_n^k} = \int_0^1 {\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^n} - 1}}{{ - x}}dx} = \int_0^1 {\frac{{1 - {{\left( {1 - x} \right)}^n}}}{x}dx} .\]
因此
当我能解数学题时，表明我从阴影中走出来了。
BB那些事
1.数学家总是想着给自己感兴趣的问题找个确切的解答，于是他鼓足勇气，交出一片真心，结果得到了一个被拒绝的答案。
2.4.4表白，5月12日写下表白过程。5月13日突然释怀：我喜欢的是那时候向你表白的我，和你无关！自己也感觉自己好可爱！
3.“真正意义上的爱，是长留于心底的，即使已过去很多年，在你以为已经忘记的时候，回忆会忽然纷至沓来”。每当我想起我们的那些美好的过去，曾经彼此那么在乎对方的一切到最后沦为了连普通朋友都不如的人，我就有种揪心的疼。我知道无论过多久，这份记忆不会淡去，因为过去越甜，分开以后就越痛。
4.很多感情，都是经得起风雨，却经不起平淡；经得起聚散，却经不起时间考验。时间会冲淡激情，爱情也会从浪漫过度到平凡。总有一些温暖，在淡雅的心间抚慰；总有一些感动，在细暖的心间流淌；总有一些铭心，在芳香的心间欢腾；总有一些快乐，在落寞的心间逗留。
5.最近在研究爱情心理学，希望能发表论文：
表白的困惑：
1、那么喜欢的女孩，错过了就不可能再拥有了，应该努力一搏，不然以后一定会后悔，幸福得自己去争取（既然钟情于玫瑰，就勇敢地吐露真诚）；
2、我很普通，而且走的是不同路，她不可能喜欢我的，表白成功的概率为0，表毛线白啊！
结果：既然很难用理性进行合理性分析，交给概率吧。如果我发一句：还在么。假如她回复“在”，我就表白；否则，不表白。结果我表白了！
6.真心喜欢一个人，总给我一种终身伴侣的错觉。后来我成为了一个浪子，不在一个人身上花费太多感情，怕自己受伤害。
爱情的困惑：
1、男人的表白在女人眼里为啥是很不man（没男人魅力，把决定权交给女人）的行为，而不是把人家当作为爱情敢于牺牲的勇士？
2、表白被拒后两者的友谊为啥会从好朋友骤减为零？
3、表白后各种关心行为被当作居心叵测，还会心生厌烦，而不是被当作曾经喜欢，一直思念，难以放下的表现？
4、表白时人家交出一片真心，为啥反而要进行无情打压？
5、男人表白时放弃自尊心，女人应该认为男人很没价值还是觉得他是真心付出，应该称赞？
世界真奇妙，人心好复杂
精彩评论：
1、(何zl)没关系，想当年涛哥也被拒绝了
2、(张hd)林肯不是都被甩过，刘德华不是说就是因为失恋才一心于事业吗？这说明什么？
(我)这说明欲练神功，必先自宫？
(张hd)看到差不多的再来呗，一成靠实力，八成靠运气。就和买股票一样，买潜力股不是每个人都可以的，哭过就好了，伤都会走的
3、(曾ff)爱情的本质就是自私和占有
中科院数学系统院高校招生考试试题
1 浙大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试：数学(甲卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)求\[\int_0^{ + \infty } {\frac{{{e^{ - ax}} - {e^{ - bx}}}}{x}dx} \quad \left( {b > a} \right).\]
2. (15分) $\sum_{i=1}^n a_n$发散, $a_n$为正项级数.求证:
(1) $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_n}{S_n}$发散;
(2) $\sum_{i=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{S_n}$发散.
3. (15分) 求
\[\int\limits_{{x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}} {\frac{{dS}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - h} \right)}^2}} }}} .\]
4. (15分) 设$A:V\to V$,\[{H_{A,\alpha }}\left( t \right) = \left\{ {\varphi \left( t \right)\left| {\varphi \left( x \right) \in Q\left[ t \right],\varphi \left( x \right) \cdot \alpha = 0} \right.} \right\}\]中次数最小的一个.证: $\exists \alpha \in V$,使${H_{A,\alpha }}\left( t \right)$为$A$的极小多项式.
1.1 某同学面试问题
1. 求\[\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{1}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {x^6}} \right)}}dx} .\]
2. 举一个无穷次可导却不解析的函数.
2 湖南大学考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试：数学(乙卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)
(1) 求极限$\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right)$;
(2) 设$f(x)$满足$f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x}$,求$f(x)$的导数;
(3) 求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}$.
2. (15分)设$r\geq 0$,求积分\[\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .\]
3. (10分)设$0<\mu <1,a>0$, $M_n$是$e^{-(x+ax^\mu )x^n}$在$(0,+\infty)$上的最大值.求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.\]
4. (10分)设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上二次连续可微,并且$f(a)=f(b)=0$.证明不等式:
\[{M^2} \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}}}{2}\int_a^b {{{\left| {f''\left( x \right)} \right|}^2}dx} ,\]其中$M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|$.
5. (10分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}}$,求以下矩阵的特征根:
\[A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.\]
注:对$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right)$,张量积定义为$A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right)$.
6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式$\det X$是二次型,写出其对应的双线性型.
\[M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.\]
7. (20分)设可逆矩阵$A\in M_n(\mathbb C)$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.求线性变换
\[M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C),\quad X\mapsto AXA'\]
的全部特征值.
注：$M_n(\mathbb C)$表示定义在复数域$\mathbb C$上的$n$阶方阵.
3 西安交大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试：数学(乙卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)
(1) 求极限$\mathop {\lim }_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)} + x} \right)$;
(2) 设$f(x)$满足$f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{x}$,求$f(x)$的导数;
(3) 设$f:[0,1]\to R$连续,求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {\frac{{{x_1} \cdots {x_n}}}{n}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} $.
解法一.设$|f|$最大值为$M$.对任何$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得当$|x-1/2|<\delta$时,有$$\left|f(x)-f(\frac{1}{2})\right|<\varepsilon.$$
\begin{align*}&\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq &\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\+&\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|<\delta}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\\\leq&2M\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|\geq\delta}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\\leq&\frac{2M}{\delta^2}\int_{[0,1]^n}\left|\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-\frac{1}{2}\right|^2dx_1dx_2\cdots dx_n+\varepsilon\\=&\frac{M}{6n\delta^2}+\varepsilon.\end{align*}
因此$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\int_{[0,1]^n}\left| f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)-f(\frac{1}{2})\right|dx_1dx_2\cdots dx_n\leq \varepsilon.$$
令$\varepsilon\rightarrow0$即可.
解法二.由科尔莫格罗夫强大数定律得$$\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}\mathop \to \limits^{a.s.} E\left( {{X_i}} \right) = \frac{1}{2}\left( {n \to + \infty } \right).$$
又因为$f(x)$连续有界,由控制收敛定理可知
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E\left( {f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {\frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = E\left( {f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{X_1} + {X_2} + \cdots + {X_n}}}{n}} \right)} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right).$$
2. (15分)设$r\geq 0$,求积分\[\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log \left( {1 - 2r\cos x + {r^2}} \right)dx} .\]
3. (20分)设$0<\mu <1,a>0$, $M_n$是$e^{-(x+ax^\mu )x^n}$在$(0,+\infty)$上的最大值.求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{{M_n}}}{{n!}}} \right)^{{n^{ - \mu }}}}.\]
4. (10分)设$m$为正整数,方程$a\equiv b \mod m$定义为$m$能整除$a-b$.当$m$取何值时,以下线性方程组有整数解?
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z \equiv 1\left( {\bmod m} \right),\\2x - 3y + z \equiv 4\left( {\bmod m} \right),\\4x + y - z \equiv 9\left( {\bmod m} \right).\end{array} \right.\]
5. (10分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\{\sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right)^{ - 1}}$,求以下矩阵的特征根: \[A + B,A \otimes \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) \otimes B,A \otimes B.\]
注:对$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}\end{array}} \right)$,张量积定义为$A \otimes B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{{a_{12}}B}\\{{a_{21}}B}&{{a_{22}}B}\end{array}} \right)$.
6. (10分)证明以下矩阵组成的集合是实数域上的线性空间,求其维数及一组基,并证明行列式$\det X$是二次型,写出其对应的双线性型.
\[M = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} + {x_3}}&{{x_1} - i{x_2}}\\{{x_1} + i{x_2}}&{{x_0} - {x_3}}\end{array}} \right):{x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R} } \right\}.\]
7. (20分)设$\Omega$为含有$n$个元素的有限集合, $2^\Omega$为$\Omega$的幂集(即$\Omega$的所有子集构成的集合).对任意$A,B\in 2^\Omega$,定义数乘$0A=\emptyset$(空集), $1A=A$,加法$A+B=(A\cup B)\backslash (A\cap B)$(对称差).
(1) 证明$2^\Omega$关于以上数乘及加法为域$Z_2=\{0,1\}$ (注意在此域上$1+1=0$)上的线性空间,求其维数.
(2) 求$2^\Omega$的一维子空间个数.
(3) 取定非空$X\in 2^\Omega$,定义线性算子$T_X:2^\Omega\mapsto 2^\Omega$为$T_X A=A\cap X,A\in 2^\Omega$.求$T_X$的极小多项式,特征多项式,特征值和相应的特征子空间.
4 吉大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试：数学(丙卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)计算
(1) 求极限$\mathop {\lim }_{n \to \infty } \frac{{{1^{\alpha - 1}} + \cdots + {n^{\alpha - 1}}}}{{{n^\alpha }}} \quad {\alpha > 0} $.
(2) 已知$f'(a)$存在,$f(a)\neq0$,求$\mathop {\lim }_{n \to \infty } {\left( {\frac{{f\left( {a + \frac{1}{n}} \right)}}{{f\left( a \right)}}} \right)^n}$.
(3) 设$f:[0,1]\to \mathbb R$连续,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {f\left( {{{\left( {{x_1} \cdots {x_n}} \right)}^{1/n}}} \right)d{x_1}d{x_2} \cdots d{x_n}} .\]
2. (15分)设$\phi (x)>0,f(x)>0$都是$[a,b]$上连续函数,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.\]
3. (20分)证明$\binom n1 - \frac{1}{2}\binom n2 + \frac{1}{3} \binom n3 - \cdots + (-1)^{n-1}\frac1n\binom nn = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$.
4. (10分)设$x,y$都是复数域上$n$阶方阵,定义$x^{(0)}=x,x^{(1)}=[x,y]\equiv xy-yx,x^{(j)}=[x^{(j-1)},y]$.证明
\[\sum\limits_{i = 0}^k {{y^i}x{y^{k - i}}} = \sum\limits_{j = 0}^k {\binom{k + 1}{j + 1} {y^{k - j}}{x^{\left( j \right)}}} .\]
5. (10分)给出平面中以下三条不同直线相交于一点的条件
\[ax+by+c=0,\quad bx+cy+a=0,\quad cx+ay+b=0.\]
求以下矩阵能对角化的条件:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\0&0&1\\a&b&c\end{array}} \right).\]
6. (10分) 给出$M_2(\mathbb C)$中幂零矩阵所张成的线性空间的一组基.描述$M_n(\mathbb C)$中幂零矩阵所张成的线性空间.
7. (20分)证明$\cos x$是超越函数.
注：函数$f(x)$称为超越函数,如果不存在有限多个不全为零的$a_{pq},p,q=0,1,2,\cdots$,使得
\[\sum\limits_{p,q}a_{pq} x^p (f(x))^q=0,\quad \forall x\in \mathbb R.\]
5 大连理工考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试：数学(丁卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)计算
(1) 求${\sqrt 2 ^{{{\sqrt 2 }^{{{\sqrt 2 }^ \cdots }}}}}$;
(2) 求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}}$;
(3) 求不定积分$\int {\frac{{x\ln x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx}$.
2. (15分)设$\phi (x)>0,f(x)>0$都是$[a,b]$上连续函数,求
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{n + 1}}dx} }}{{\int_a^b {\phi \left( x \right){{\left( {f\left( x \right)} \right)}^n}dx} }}.\]
3. (20分) 设$f(x)$为$[a,b]$上可微函数, $f(a)=f(b)=0$,但$f(x)$不恒等于零,则存在$\xi\in (a,b)$使得
\[\left| {f'\left( \xi \right)} \right| > \frac{4}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}\int_a^b {f\left( x \right)dx} .\]
4. (10分)设$m$为正整数,方程$a\equiv b \mod m$定义为$m$能整除$a-b$.当$m$取何值时,以下线性方程组有整数解?
\[\left\{ \begin{array}{l}x \equiv 1\left( {\bmod \,2} \right),\\x \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right),\\x\equiv 4\left( {\bmod \,5} \right).\end{array} \right.\]
5. (10分)证明代数数集合为可数集.
注：一个数称为代数数,如果它是某个系数为有理数的多项式的根.
6. (10分)设$n\geq2$,矩阵$A=(a_{ij})\in M_{n\times n}(\mathbb Z)$的每个元素要么是$-3$,要么是$4$,即$a_{ij}\in \{-3,4\}$. (1)设$S$是所有这些矩阵的和,求$S$及其秩$\mathrm{rank}\, S$; (2)证明行列式$|A^2|$是$7^{2n-2}$的倍数,即$7^{2n-2} |\, |A^2|$.
7. (20分)设$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{array}} \right)\in M_{3\times 3}(\mathbb C)$,多项式$p(x)\in \mathbb C[x]$.
(1)证明: $p\left( A \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}&{p''\left( a \right)/2}\\0&{p\left( a \right)}&{p'\left( a \right)}\\0&0&{p\left( a \right)}\end{array}} \right)$. \quad (2)求$e^A$.
6 中科大考题
证明$AB$和$BA$有相同的特征多项式.
7 山大考题
中国科学院大学
2016 年高校招生考试：数学(X卷)
满分100分,考试时间120分钟
1. (15分)计算
(1) 求$\mathop {\lim }_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \tan x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}}$;
(2) 求$f(x)=x^{x^x}$的导数;
(3) 求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^1 {\int_0^1 \cdots } \int_0^1 {\frac{{x_1^2 + x_1^2 + \cdots + x_n^2}}{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}d{x_1}d{x_2}d{x_n}} .\]
2. (15分)已知$f\left( x \right) = \prod_{i = 1}^k {\left( {x - {a_i}} \right)} $,且\[ - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = {c_0} + {c_1}x + {c_2}{x^2} + \cdots + {c_n}{x^n} + \cdots ,\]求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{c_n}}}{{{c_{n - 1}}}}$和$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{c_n}}}$.
3. (20分) $a,b$为实数, $x^3+abx+b$在复数域上有重根,则$a,b$应满足什么条件?
4. (10分)求\[{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{i\theta }}}&{2i\sin \alpha }\\0&{{e^{i\theta }}}\end{array}} \right)^n}.\]
8 厦大考题
1. $A,B$特征值不同, $f_A,f_B$为其特征多项式.
(1) 存在$g(\lambda),h(\lambda)$使得\[g(B)f_A(B)=I,h(A)g_B(A)=I.\]
(2) $AX-XB=0$只有零解;
(3) $AX-XB=C$有唯一解.
2. 设$f(x)=\frac1{1-x-x^2}$,证明$\sum_{n=1}^\infty\frac{n!}{f^{(n)}(0)}$收敛,其中$f^{(n)}(0)$表示$f(x)$在$0$点的$n$阶导数.
武汉大学2016年基础数学复试笔试试题
武汉大学2016年基础数学复试笔试试题
编辑整理：曹匹诺，Eufisky(Xiongge)
1.设$f(x)$在$(a,b)$上可微,且$f(x)$在$a$点右连续,试证:
(1) 若导函数$f'(x)$的右函数极限存在且为$A$,证明导函数$f'(x)$在$a$点的右侧存在且\[{{f'}_ + }\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f'\left( x \right) = A.\]
(2) $f'(x)$在$(a,b)$上不存在第一类间断点.
2.若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛,证明级数\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{\sqrt {{r_{n - 1}}} + \sqrt {{r_n}} }}} \]收敛,其中${r_n} = \sum_{k = n + 1}^\infty {{a_k}}$.
3.讨论$\lambda$取何值时, $y''+\lambda y=0$有非零的初值解,其中$y(0)=y(1)=0$.
4.$A$为正定矩阵, $A-B$为半正定矩阵,试证明:
(1) 方程$|\lambda B-A|=0$关于根$\lambda\geq1$;
(2) $|B|\leq |A|$.
5.讨论积分$\int_0^1 x^{p-1}\ln^2 xdx$在下列情况下的一致收敛性.
(1) $p\geq p_0>0$;
(2) $p>0$..
6. 设非负函数$f(x,y)$在区域$D$上可积,证明积分$\iint\limits_D f(x,y)dx=0$充分必要条件为$f(x,y)$在$D$上的连续点上等于$0$.
