求

若$a_i$是超越方程\[\left( {\cos x} \right)\left( {\cosh x} \right) + 1 = 0\]的正实数根从小到大排成的数列, 求证:

$$\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}^{-6}\left(\frac{\sin a_i-\sinh a_i}{\cos a_i+\cosh a_i}\right)^2}=\frac{1}{80}.$$

首先可以肯定,这个方程里$a_i$肯定是解不出的.其次我们有\[{\left( {\sinh {a_i}} \right)^2} = {\left( {\cosh {a_i}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}{a_i}}} - 1 = {\tan ^2}{a_i} \Rightarrow \sinh {a_i} = \left| {\tan {a_i}} \right|.\]
当$\sinh {a_i} = \tan {a_i}$时,我们有\[{\left( {\frac{{\sin {a_i} - \sinh {a_i}}}{{\cos {a_i} + \cosh {a_i}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sin {a_i} - \tan {a_i}}}{{\cos {a_i} - \frac{1}{{\cos {a_i}}}}}} \right)^2} = {\tan ^2}\frac{{{a_i}}}{2}.\]
当$\sinh {a_i} = -\tan {a_i}$时,我们有\[{\left( {\frac{{\sin {a_i} - \sinh {a_i}}}{{\cos {a_i} + \cosh {a_i}}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sin {a_i} + \tan {a_i}}}{{\cos {a_i} - \frac{1}{{\cos {a_i}}}}}} \right)^2} = {\cot ^2}\frac{{{a_i}}}{2}.\]事实上,两种情况都会出现.接下来大家一起来思考下哈！

以下几个也是不同寻常的题，正是因为莫名其妙、不明觉厉才想一探究竟，希望大家一起来玩！

1、求无穷积分$$\int_{1/2}^{+\infty}{\int_{1/2}^{+\infty}{\int_{1/2}^{+\infty}{\frac{dxdydz}{\prod\limits_{cyc}{\left[242x^5-\left(y-1\right)^5-\left(z+1\right)^5\right]}}}}}.$$

2、设\[{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e\left( {1 - \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{{d_k}}}{{{{\left( {\frac{{11}}{{12}} + x} \right)}^k}}}} } \right),\]求
\[{\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{1 + d_k^2}}} }.\]

(2017年10月AMM征解题)求证

\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item Item 1
        \item Item 2
        \item Item 3
        \item This is item number 4
        \item This is item number 5
        \item This is item number 6
    \end{enumerate}
\end{multicols}

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\begin{document}
\begin{enumerate}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}   
    \item Item 1
    \item Item 2
    \item Item 3
  \end{minipage}
  \begin{minipage}{0.6\linewidth}
    \item This is item number 4
    \item This is item number 5
    \item This is item number 6       
  \end{minipage}
\end{enumerate}
\end{document}

\documentclass{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage{amsmath}

\begin{document}
\begin{enumerate}
    \item Determinar la transpuesta de cada una de las sigientes matrices. Adem\'as si la matriz es cuadrada, calcular su traza.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item   
            $\left( \begin{matrix}
            -4 & 2 \\
            5 & -1
            \end{matrix} \right)$
            \item           
            $\left( \begin{matrix}
            0 & 8 & -6 \\
            3 & 4 & 7 
            \end{matrix} \right)$
            \item 
            $\left( \begin{matrix}
            -3 & 9 \\
            0 & -2 \\
            6 & 1 
            \end{matrix} \right)$
            \item 
            $\left( \begin{matrix}
            10 & 0 & -8 \\
            2 & -4 & 3 \\
            -5 & 7 & 6 
            \end{matrix} \right)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{enumerate}
\end{document}

一个网页版介绍：http://www.ctex.org/documents/shredder/tex_frame.html

特殊图案：加载bclogo宏包，\bcours（熊），\bccrayon（铅笔），\bcicosaedre（多面体）

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写出圆周的单层位势$$U(a,b)=\int_{x^2+y^2=R^2}\ln \frac 1{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}ds,\quad \text{其中}\,  a^2+b^2\neq R^2$$

解.不妨设$R>0$,否则考察$-R$.令$x=R\cos\theta,y=R\sin\theta$,则$$ds=\sqrt{\left[x'(\theta)\right]^2+\left[y'(\theta)\right]^2}d\theta=Rd\theta.$$因此

\begin{align*}U(a,b)&=R\int_0^{2\pi}\ln \frac 1{\sqrt{(R\cos\theta-a)^2+(R\sin\theta-b)^2}}d\theta\\&=R\int_0^{2\pi}\ln \frac 1{\sqrt{R^2+a^2+b^2-2aR\cos\theta-2bR\sin\theta}}d\theta\\&=-\frac R2\int_0^{2\pi}\ln \left(R^2+a^2+b^2-2R\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)\right)d\theta,\quad \text{其中}\, \tan\varphi=\frac ab\\&=-\frac R2\int_0^{2\pi}\ln \left(R^2+a^2+b^2-2R\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\right)d\theta\\&=-\frac R2\int_0^{\pi}\ln \left(R^2+a^2+b^2-2R\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\right)d\theta-\frac R2\int_\pi^{2\pi}\ln \left(R^2+a^2+b^2-2R\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\right)d\theta\\&=-\frac R2\int_0^{\pi}\ln \left(R^2+a^2+b^2-2R\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\right)d\theta-\frac R2\int_0^\pi\ln \left(R^2+a^2+b^2+2R\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\right)d\theta.\end{align*}

中间几步注意到了对积分变量进行诸如$u=\theta+c$的变换改变积分上下限,而$\sin x$和$\cos x$的最小周期为$2\pi$.因此仍等于$0$到$2\pi$上的积分.

再由比较常见的Poisson积分公式有$$\int_0^\pi\ln (a\pm b\cos x)dx=\pi\ln\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2},\quad a\geq b\geq 0$$此公式证明只需把积分看成是关于$b$的函数,对$b$求导即可.

由此得$$\int_0^\pi\ln \left(a^2\pm 2ab\cos x+b^2\right)dx=\begin{cases}2\pi\ln a,&a\geq b\geq 0\\2\pi\ln b,&b\geq a\geq 0\end{cases}$$因此所求积分为

$$U(a,b)=\begin{cases}-2\pi |R|\ln |R|,& a^2+b^2<R^2\\-\pi |R|\ln \left(a^2+b^2\right),& a^2+b^2>R^2\end{cases}$$

在惯性系内一不受外力作用的刚性飞行器绕固定点转动的动态可用Euler方程描述\begin{align*}J_1\dot\omega_1&=(J_2-J_3)\omega_2\omega_3,\\J_2\dot\omega_2&=(J_3-J_1)\omega_3\omega_1,\\J_3\dot\omega_3&=(J_1-J_2)\omega_1\omega_2.\end{align*}其中$\omega_1,\omega_2,\omega_3$为刚体转动角速度的投影, $J_1,J_2,J_3$为惯性主轴的转动惯量且$J_1,J_2,J_3$均大于$0$.

(1)研究

前阵子忙着硕转博考试复习，去找了下Boss，给我一篇机器学习领域计算凸包的文章 Stratifying High-Dimensional Data Based on Proximity to the Convex Hull Boundary（基于接近凸包边界的高维数据分层）